Chứng minh rằng: a^2+b^2+1>=ab+a+b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
HD
3
P
10 tháng 3 2018
Ta có a> 2 và b>2 nên a(b-2)>0 và b(a-2) >0.
Vậy a(b-2)+b(a-2) >0 <=> 2[ab -a -b] >0 <=> ab > a+ b
10 tháng 3 2018
Xét : 2ab-2.(a+b)
= 2ab-2a-2b
= (ab-2a)+(ab-2b)
= a.(b-2)+b.(a-2)
Vì a>2 ; b>2 => a-2 > 0 ; b-2 > 0
=> a.(b-2)+b.(a-2) > 0
<=> 2ab > 2.(a+b)
<=> ab > a+b
Tk mk nha
NP
2
8 tháng 10 2016
Ta có a3 + b3 - ab(a + b) \(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)(a + b)(a2 - ab + b2 - ab)\(\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)(a + b)(a - b)2 \(\ge0\)(đúng)
Vậy cái ban đầu là đúng
LH
19 tháng 4 2017
mình hướng dẫn nhé, muộn rồi, ko alfm kịp,
câu a nhân 2 vế với 2, chuyển vế đổi dáu => đpcm
cậu b chuyển vế đổi dấu ok
LH
20 tháng 4 2017
câu a
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\left(1\right)\\ < =>2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\\ < =>a^2-2a+1+a^2-2ab+b^2+b^2-2b+1\ge0\\ < =>\left(a-1\right)^2+\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\left(\cdot\right)\)
có
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2\ge0\left(\forall a\right)\\\left(a-b\right)^2\ge0\left(\forall a,b\right)\\\left(b-1\right)^2\ge0\left(\forall b\right)\end{matrix}\right.\)
=> (.) luôn đúng với mọi a và b
=>(1) luôn đúng
dấu bàng xảy ra khi a = b =1
câu b (sửa lại thành >= nhé)
\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\left(1\right)\\ < =>a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1\ge0\\ < =>\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\left(\cdot\right)\)
có
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2\ge0\left(\forall a\right)\\\left(b-1\right)^2\ge0\left(\forall b\right)\\\left(c-1\right)^2\ge0\left(\forall c\right)\end{matrix}\right.\)
=>(.) luôn đúng
=> (1) luôn đúng
dấu = xảy ra khi a = b = c = 1
xong, chúc may mắn :)
NH
1
NT
1 tháng 5 2016
Xét VT = 1/ab + 1/(a² + b²) = 1/2ab + 1/(a² + b²) + 1/2ab
Áp dụng bđt: 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) với x, y >0 và với a + b = 1 ta có:
1/2ab + 1/(a² + b²) ≥ 4/(2ab + a² + b²) = 4/(a + b)² = 4
Áp dụng bđt 4xy ≤ (x + y)² ta có:
1/2ab = 2/4ab ≥ 2/(a + b)² = 2
=> VT ≥ 4 + 2 = 6
Dấu "=" xảy ra khi a = b và a + b = 1 nên a = b = ½
sorry mik trả lời nhầm