Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{1}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\) với mọi n là số tự nhiên khác 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 6 2021
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)^2n-n^2\left(n+1\right)}\)
\(=\dfrac{\left(n+1\right)\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(VT=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}< 1\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 1 2019
Lời giải:
Xét số hạng tổng quát:
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(n+1)\sqrt{n}}<\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}).2\sqrt{n+1}}{(n+1)\sqrt{n}}\)
Hay \(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< \frac{2\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{4}}+....+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2018
Lời giải:
Với 2 số $a,b$ dương, ta luôn có BĐT quen thuộc sau:
\(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
Cách chứng minh rất đơn giản, biến đổi tương đương ta có:
\(a^3+b^3-ab(a+b)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b>0$)
---------------------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}=(\sqrt{n})^3+(\sqrt{n+1})^3\geq \sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Do đó:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
......
\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \text{VT}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
Ta có đpcm.