Question

[Võ Triệu]

Cho a,b là các số dương thỏa mãn a+b=1 tìm GTNN của P=(1-1/a^2)(1-1/b^2)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lần sau bạn chú ý viết đề bằng công thức toán

Lời giải:

$P=1-\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$

$=1-\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$
$=1-\frac{1-2ab}{a^2b^2}+\frac{1}{a^2b^2}$

$=1+\frac{2}{ab}$

Áp dụng BĐT Cô-si:

$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow \frac{2}{ab}\geq 8$

$\Rightarrow P=1+\frac{2}{ab}\ge 9$

Vậy $P_{\min}=9$ khi $a=b=\frac{1}{2}$