Cho\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
Chứng minh:\(\dfrac{1}{a^3+b^3+c^3}=\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
Vũ Thị Minh Ánh
Giáo viên
17 tháng 12 2022
\(a+b+c=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}=3\)
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\cdot3=9\)
Vậy \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\).
17 tháng 2 2018
áp dụng bdt côsi \(\dfrac{a^2}{b^3}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}\ge\dfrac{3}{b}\)
tuông tu \(\dfrac{b^2}{c^3}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{3}{c}\)
\(\dfrac{c^2}{a^3}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{3}{a}\)
suy ra vt +\(2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
suy ra dpcm
dau = xay ra khi a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 11 2018
\(\dfrac{1}{a^3}+a\ge2\sqrt{\dfrac{a}{a^3}}=\dfrac{2}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b^3}+b\ge\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{1}{c^3}+c\ge\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+a+b+c\ge2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) (1)
Lại có \(\dfrac{4a}{a^4+1}\le\dfrac{4a}{2\sqrt{a^4}}=\dfrac{4a}{2a^2}=\dfrac{2}{a}\)
Tương tự \(\dfrac{4b}{b^4+1}\le\dfrac{2}{b}\) ; \(\dfrac{4c}{c^4+1}\le\dfrac{2}{c}\)
\(\Rightarrow4\left(\dfrac{a}{a^4+1}+\dfrac{b}{b^4+1}+\dfrac{c}{c^4+1}\right)\le2\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) (2)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}+a+b+c\ge4\left(\dfrac{a}{a^4+1}+\dfrac{b}{b^4+1}+\dfrac{c}{c^4+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
20 tháng 7 2017
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) ( Tự chứng minh BĐT này ), ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\le\dfrac{1}{\dfrac{4}{a+b}}=\dfrac{a+b}{4}\left(1\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}\le\dfrac{b+c}{4}\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}}\le\dfrac{c+a}{4}\left(3\right)\)
Cộng \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\) vế theo vế, ta được:
\(P\le\dfrac{a+b+b+c+c+a}{4}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
=>\(\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
=> (bc+ac+ab)(a+b+c)=abc
=> abc+b2c+bc2+a2c+abc+ac2+a2b+ab2+abc=abc
=>abc+b2c+bc2+a2c+abc+ac2+a2c+ab2+abc-abc=0
=>(a2c+2abc+b2c)+(a2b+ab2)+(ac2+bc2)=0
=>c(a+b)2+ab(a+b)+c2(a+b)=0
=>(a+b)[c(a+b)+ab+c2]=0
=>(a+b)(ac+bc+ab+c2)=0
=>(a+b)[a(c+b)+c(b+c)]=0
=>(a+b)(c+b)(a+c)=0
=> a+b=0, c+b=0, a+c=0
nếu a+b=0=>a=-b
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{1}{-b^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}=\dfrac{1}{c^3}\)(1)
và \(\dfrac{1}{a^3+b^3+c^3}=\dfrac{1}{-b^3+b^3+c^3}=\dfrac{1}{c^3}\) (2)
từ (1) và (2) suy ra đpcm