cho a,b,c>0 t/m a+b+c=1 . c/m \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
13 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A\le\dfrac{a+b}{2\sqrt{c+ab}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{a+bc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{b+ac}}\)\(\le\dfrac{a+b}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}\)\(=\dfrac{a+b+c}{\sqrt[4]{4abc}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{4abc}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b+c\right).\dfrac{2}{3}}}\)(BĐT Cô-si)\(=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
Vậy Amin=\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
\(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\) ; \(\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ca+2b^2\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca=2+ab+bc+ca\)
31 tháng 8 2017
Xét \(\sqrt{\dfrac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{\left(a\left(a+b+c\right)+bc\right)\left(b\left(a+b+c\right)+ac\right)}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)}{ac+bc+c^2+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cho 2 đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế
\(P=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\)
HN
26 tháng 12 2017
\(A=\sum\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sum\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ca+cb+ab}}\)
\(=\sum\sqrt{\dfrac{ab}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{c+a}+\dfrac{b}{c+b}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{b+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}.3=\dfrac{3}{2}\)
22 tháng 7 2019
3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
22 tháng 7 2019
cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $P$
Hiển nhiên $a,b,c$ không thể cùng đồng thời bằng $0$
Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng $0$ thì $ab+bc+ac=0$ (trái giả thiết)
Nếu trong 3 số $a,b,c$ có 1 số bằng $0$. Giả sử đó là $a$
Khi đó:
$P=\sqrt{\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{c}{b}}\geq 2$ theo BĐT AM-GM $(*)$
Nếu cả 3 số $a,b,c$ đều lớn hơn $0$
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b+c}{a}=\frac{b+c}{a}.1\left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2\leq \left(\frac{a+b+c}{2a}\right)^2\Rightarrow \sqrt{\frac{b+c}{a}}\leq \frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\geq \frac{2b}{a+b+c}; \sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng theo vế thì $P\geq 2 (**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow$ đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 5 2020
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự: \(\sqrt{b+ac}\ge b+\sqrt{ac}\) ; \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NM
16 tháng 6 2017
\(\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{\left(a+b\right)^2-ab}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2-\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}}=\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{3}\left(a+b\right)}{2}.\)
Tương tự
=> P \(\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}.2\left(a+b+c\right)=\sqrt{3}.\)
Vậy \(Pmin=\sqrt{3}\) khi a =b=c = 1/3
áp dụng bất đẳng thức Bun-nhi-a ta có:
\(A^2\le3\left(a+b+c+ab+bc+ac\right)\le3\left(a+b+c+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)=4\)
=> A\(\le\)2(dpcm)