Question

[mai ngoc]

Số giá trị nguyên âm của m để \(m.9^x-\left(2m+1\right).6^x+m.4^x\ge0\forall x\in\left[0;1\right]\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ta có \(m.9^x-(2m+1).6^x+m.4^x\geq 0\)

\(\Leftrightarrow m\left(\frac{9}{4}\right)^x-(2m+1)\frac{6^x}{4^x}+m\geq 0\)

\(\Leftrightarrow m[\left(\frac{3}{2}\right)^x]^2-(2m+1)\left(\frac{3}{2}\right)^x+m\geq 0\)

Đặt \(\left(\frac{3}{2}\right)^x=t; x\in [0;1]\Rightarrow t\in [1; \frac{3}{2}]\)

BPT trở thành: \(mt^2-(2m+1)t+m\geq 0\)

\(\Leftrightarrow m(t^2-2t+1)-t\geq 0\)

\(\Leftrightarrow m(t-1)^2-t\geq 0\) (*)với mọi \(t\in [1; \frac{3}{2}]\)

Nếu \(m\) là số nguyên âm, \(\Rightarrow m(t-1)^2\leq 0\)

\(t\in [1; \frac{3}{2}]\Rightarrow -t < 0\)

Do đó \(m(t-1)^2-t< 0\) (trái với (*)). Vậy có nghĩa là không tồn tại số nguyên âm m nào thỏa mãn điều kiện đã cho

Vậy có 0 giá trị thỏa mãn.