Question

[Hoàng Trung Đức]

Tìm x để x^2017 + x^2015 + 1 là số nguyên tố

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Ở đây đương nhiên ta sẽ tính trong trường hợp x là số tự nhiên.

Ta có:

\(x^{2017}+x^{2015}+1=x^{2015}(x^2+x+1)-(x^{2016}-1)\)

\(=x^{2015}(x^2+x+1)-[(x^3)^{672}-1]=x^{2015}(x^2+x+1)-(x^3-1).A\)

(A là một biểu thức nào đó, chúng ta sẽ không phân tích kỹ vì nó không có vai trò trong bài toán)

\(=x^{2015}(x^2+x+1)-(x-1)(x^2+x+1)A\)

\(=(x^2+x+1)(x^{2015}-xA+A)\)

Do đó \(x^{2017}+x^{2015}+1\vdots x^2+x+1\) (1)

Xét \(x=0\) thì không thỏa mãn

Xét \(x\geq 1\Rightarrow x^2+x+1\geq 3\)

Do đó, từ (1), để \(x^{2017}+x^{2015}+1\) là số nguyên tố thì

\(x^{2017}+x^{2015}+1=x^2+x+1\)

Vì \(x\geq 1\Rightarrow x^{2017}\geq x^2; x^{2015}\geq x\)

\(\Rightarrow x^{2017}+x^{2015}+1\geq x^2+x+1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^{2017}=x^2\\ x^{2015}=x\end{matrix}\right.\Rightarrow x=1\) (x khác 0)

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy x=1

Answer 2

[Hoàng Trung Đức]

ồ, hay thật. Cảm ơn nha!