Question

[Phạm Mỹ Dung]

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a³ + b³.

Câu 6. Cho a³ + b³ = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)² ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Answer 1

[Tea Milk]

Câu 4:

a) C/m tương đương

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) => luôn đúng

=> \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrowđpcm\)

b) \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\)

Áp dụng BĐT: \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)

+) \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ba}{c}=b\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\ge2b\)

+) \(\dfrac{ca}{b}+\dfrac{cb}{a}=c\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2c\)

+) \(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}=a\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge2a\)

Cộng vế vs vế ta có:

\(2\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\Rightarrowđpcm\)

c) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có:

\(12^2=\left(3a+5b\right)^2\ge4.3a.5b=60ab\)

=> \(ab\le\dfrac{12}{5}\)

Vậy GTLN của P là \(\dfrac{12}{5}\)

Dấu ''=" xảy ra khi \(3a=5b\), từ đó ta có hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}3a=5b\\3a+5b=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=\dfrac{6}{5}\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[Tea Milk]

Câu 10:

a) \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2-b^2\right)\le0\) => luôn đúng

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2a^2+2b^2\Rightarrowđpcm\)