cho a,b,c>0 và a.b.c=1
Tìm min của \(A=\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{2}{ab+bc+ca}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
E
5 tháng 11 2018
\(P=\dfrac{bc}{\dfrac{a^2bc}{c}+\dfrac{a^2bc}{b}}+\dfrac{ca}{\dfrac{b^2ac}{a}+\dfrac{b^2ac}{c}}+\dfrac{ab}{\dfrac{c^2ab}{b}+\dfrac{c^2ab}{a}}=\dfrac{\left(bc\right)^2}{a^2b^2c+a^2bc^2}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{b^2a^2c+b^2ac^2}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c^2a^2b+c^2ab^2}=\dfrac{\left(bc\right)^2}{ab+ac}+\dfrac{\left(ca\right)^2}{ba+bc}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{ca+cb}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 1 2023
Lời giải:
\(P=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{ab+bc+ac}+\frac{5}{1-2(ab+bc+ac)}\)
\(=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}\) với $x=ab+bc+ac$
Theo BĐT AM-GM:
$1=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
$\Rightarrow x=ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}$
Vậy ta cần tìm min $P=\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x}$ với $0< x\leq \frac{1}{3}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\frac{3}{x}+\frac{5}{1-2x})[2x+(1-2x)]\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2$
$\Leftrightarrow P\geq (\sqrt{6}+\sqrt{5})^2=11+2\sqrt{30}$
Vậy $P_{\min}=11+2\sqrt{30}$
Giá trị này đạt tại $x=3-\sqrt{\frac{15}{2}}$
13 tháng 1 2018
\(a=b=c=1 \rightarrow A=12 \) ( ͡° ͜ʖ ͡°)
one slot in afternoon one shot ( ͡° ͜ʖ ͡°)
13 tháng 1 2018
à nhầm không phải a=b=c=1. Chỉ có Min=12 là đúng thôi :V
TL
1 tháng 11 2018
Ta có:
1+a2 = ab+bc+ca+a2 = a(a+b)+c(a+b)=(a+b)(a+c)
Tương tự: 1+b2 = (b+c)(b+a)
1+c2 = (c+a)(c+b)
\(\Rightarrow\) P = \(2a\sqrt{\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+2b\sqrt{\dfrac{1}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}+2c\sqrt{\dfrac{1}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
P\(\le\)\(a\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+b\left(\dfrac{1}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b+a}\right)+c\left(\dfrac{1}{4\left(c+b\right)}+\dfrac{1}{c+a}\right)\)\(\le\)\(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{4\left(b+c\right)}+\dfrac{b}{b+a}+\dfrac{c}{4\left(c+b\right)}+\dfrac{c}{c+a}\)
= \(\dfrac{1}{4}+2=\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow\)Pmin = \(\dfrac{9}{4}\)
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) b=c=\(\dfrac{a}{7}\)=\(\dfrac{\sqrt{15}}{15}\) \(\Rightarrow\) a = \(\dfrac{7\sqrt{15}}{15}\)
S
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 3 2018
Lời giải:
Ta có: \(ab+bc+ac=4abc\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\right)(1+1+1)\geq \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)^2\) (1)
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)(1+1+1)\geq \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\) (2)
Từ (1)(2) suy ra \(\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}\geq \frac{1}{27}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^4=\frac{4^4}{27}=\frac{256}{27}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{256}{27}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{3}{4}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 10 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta luôn có: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2\) (1)
Sử dụng những bđt rất quen thuộc sau:
\((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\)
\(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)
Cộng vào suy ra \(6\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\)
Ta có \(6\leq t+\frac{t^2}{3}\Leftrightarrow t^2+3t-18\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (t+6)(t-3)\geq 0\)
Vì \(t>0\Rightarrow t+6>0\Rightarrow t-3\geq 0\Rightarrow t\geq 3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\geq 3(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
PB
25 tháng 10 2017
Ta có bdt sau : x^3/y + y^3/z + z^3/x >= (x+y+z)^3/3(x+y+z) (x,y,z>0)
CHứng minh = Holder
=> P >= (a+b+c)^3/3(a+b+c) = (a+b+c)^2/3
Ta có : 6=a+b+c+ab+bc+ca <= a+b+c + (a+b+c)^2/3 ,đặt t=a+b+c (t>0) quy đồng <=> t^2+3t >= 18 ,giải bpt => t>=3
Vậy P>=3^2/3=3
TV
0