Question

[My Trà]

cho tam giác ABCvuông tại A.H,D,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA.Lấy E đối xứng với D qua K.

a)CMR: các đường thẳng AD,HK,BE đồng quy.

b)tính tỉ số: \(\dfrac{BC^2}{AD^2+BK^2+CH^2}\)

Answer 1

[Hoang Thiên Di]

Answer 2

[Bình Dị]

Bạn tự vẽ hình:

a) Nhận thấy KD là đường trung bình ứng với AB của tam giác ABC nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}KD//AH\\KD=AH\left(=\dfrac{1}{2}AB\right)\end{matrix}\right.\) nên HDKA là hình bình hành

Gọi giao điểm của AD và HK là I thì I là trung điểm của AD,HK(1)

E đối xứng với D qua K nên\(\left\{{}\begin{matrix}DE//AB\\DE=2KD=2.\dfrac{1}{2}AB=AB\end{matrix}\right.\)

=> DEAB là hình bình hanh mà I là trung điểm AD

=> I là trung điểm BE (2)

Từ (1) và (2) ta có: AD,HK,BE đông quy tại I (đpcm)

b)Tam giác ABC vuông tại A nên \(AD=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Leftrightarrow AD^2=\dfrac{1}{4}BC^2\)(3)

\(BK^2=AB^2+AK^2=AB^2+\left(\dfrac{1}{2}AC\right)^2=AB^2+\dfrac{1}{4}AC^2\)(4)

\(CH^2=AC^2+AH^2=AC^2+\left(\dfrac{1}{2}AB\right)^2=AC^2+\dfrac{1}{4}AB^2\)(5)

Từ (3),(4),(5) ta có:

\(\dfrac{BC^2}{AD^2+BK^2+CH^2}\)

\(=\dfrac{BC^2}{\left(\dfrac{1}{4}BC^2\right)+\left(AB^2+\dfrac{1}{4}AC^2\right)+\left(AC^2+\dfrac{1}{4}AB^2\right)}\)

\(=\dfrac{BC^2}{\dfrac{5}{4}\left(AB^2+BC^2\right)+\dfrac{1}{4}BC^2}=\dfrac{BC^2}{\dfrac{5}{4}BC^2+\dfrac{1}{4}BC^2}=\dfrac{2}{3}\)