1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. CMR: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
2: CM các bđt sau: \(x^4-4x+5>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 8 2016
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a,b,c > 0
Áp dụng bđt Cauchy : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2\left|b\right|=2b\)\(\Rightarrow a\left(1+b^2\right)\ge2ab\)
Tương tự : \(b\left(1+c^2\right)\ge2bc\) , \(c\left(1+a^2\right)\ge2ac\)
Cộng các bđt trên ta được đpcm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 7 2021
a.
\(\Delta=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2=\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\)
\(=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)
\(=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\Rightarrow a-b-c< 0\\a+c>b\Rightarrow a-b+c>0\\a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\)
\(\Rightarrow\Delta< 0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm
Đề bài sai
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 7 2021
b.
\(\Delta=\left(a+b+c\right)^2-4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)
Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)
\(\Rightarrow\Delta< 0\)
\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm
Đề bài sai
26 tháng 6 2017
Mk còn thiếu vế trái nữa
a2 + b2 + c2 \(\le\)2 ( ab + bc + ca )
Vì a ; b ; c là 3 cạnh của 1 tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác:
Ta có:
a\(\le\)b +c => a . a \(\le\)a.(b + c) => a2 \(\le\) ab + ac ( 1 )
b \(\le\) a + c => b . b \(\le\)b ( a + c ) => b2 \(\le\)ab + bc ( 2)
c \(\le\) a + b => c . c \(\le\) c . ( a + b ) => c2 \(\le\) ac + bc ( 3 )
Cộng với các vế ( 1 ) ; ( 2 ) ; ( 3 ) được:
a2+ b2 + c2 \(\le\) ab + ac + ab + bc + ac + bc
Vậy a2 + b2 + c2 \(\le\)2.( ab + bc + ca )
26 tháng 6 2017
a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ca
<=> a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca \(\ge\) 0
<=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\)0
<=> ( a2 - 2ab + b2 ) + ( b2 - 2bc + c2 ) + ( c2 - 2ca + a2 ) \(\ge\)0
<=> ( a - b )2 + ( b - c)2 + ( c - a)2 \(\ge\) 0 ( Luôn đúng)
Dấu " = " xảy ra khi a = b = c
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 12 2018
Bài 1:
(a)
Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a+b>c\\ b+c>a\\ c+a>b\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} c(a+b)>c^2\\ a(b+c)>a^2\\ b(c+a)>b^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)> c^2+a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow 2(ab+bc+ac)> a^2+b^2+c^2\)
Ta có đpcm.
(2): Bài này có nhiều cách giải. Nhưng mình xin đưa ra cách làm thuần túy Cô-si nhất.
Đặt
\((a+b-c, b+c-a, c+a-b)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2}; \frac{y+z}{2})\)
Khi đó:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)
\(=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\geq 6\sqrt[6]{\frac{1}{2^6}}=3\) (áp dụng BĐT Cô-si)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$ hay $a=b=c$
(c):
Theo BĐT tam giác:
\(b+c>a\Rightarrow 2(b+c)> b+c+a\Rightarrow b+c> \frac{a+b+c}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự với những phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 12 2018
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.cd}=6\sqrt[6]{(abcd)^3}=6\sqrt[6]{1^3}=6\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} a^2=b^2=c^2=d^2=ab=cd\\ abcd=1\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=1\)
14 tháng 9 2017
Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nên:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự:
\(b^2< ab+bc;c^2< ac+bc\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\left(đpcm\right)\)
1) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2< ab+ac\)
Chứng minh tương tự: \(b^2< ab+bc\)
\(c^2< ac+bc\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh ta được đpcm
2) \(x^4-4x+5=x^4-4x^2+4+4x^2-4x+1=\left(x^2-2\right)^2+\left(2x-1\right)^2\ge0\)
Không xảy ra đẳng thức nên ta suy ra đpcm