Question

[Karry Angel]

Bài 1: Cho a, b, c ≥ 0

Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\)

Bài 2: Với a ≥0. Thì\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^2}\le1+a\)

Bài 3: Chứng minh rằng:\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge6\). Với x, y, z>0

Answer 1

[Nguyễn Huy Tú]

Bài 3:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}\)

\(=2+2+2=6\)

Dấu " = " khi x = y = z = 1

Vậy...

Answer 2

[TFBoys]

3. Với x,y,z>0 áp dụng BĐT Cauchy ta có

\(x+y+z+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\)

\(=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)+\left(z+\dfrac{1}{z}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}+2\sqrt{z.\dfrac{1}{z}}=2+2+2=6\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{x}\\y=\dfrac{1}{y}\\z=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

1. Với a=b=c=0, ta thấy BĐT trên đúng

Với a,b,c>0 áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^3}=3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\) (1)

\(b^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{b^3.b^3.c^3}=3\sqrt[3]{b^6c^3}=3b^2c\) (2)

\(c^3+c^3+a^3\ge3\sqrt[3]{c^3.c^3.a^3}=3\sqrt[3]{c^6a^3}=3c^2a\) (3)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế:

\(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a>\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{3}\) (vì a,b,c>0)

Do đó BĐT trên đúng \(\forall a,b,c\ge0\)