a,b,c>0 CMR: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
3 tháng 5 2018
Ta có :\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2a}{a+b+c}\) (bđt AM-GM)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\\\sqrt{\frac{c}{b+a}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=c\\b+c=a\\a+c=b\end{cases}}\) \(\Rightarrow a+b+c=0\) vô lý vì \(a;b;c>0\)
Vậy \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}>2\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
13 tháng 12 2015
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{b\left(a+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}>2\)
Áp dụng BđT cô si với hai số ko âm :
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
CMTT : \(\frac{b}{\sqrt{b\left(c+a\right)}}\ge\frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{\sqrt{c\left(a+b\right)}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng Vế với vế của ba bpt trên ta đc đpcm .
Dấu '=' xảy ra khi : a = b + c ; b = c+ a ; a = c + b
<=> a + b + c = 2 ( a+ b + c ) => a+ b +c = 0 ( VN )
=> Ko có dấu =
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân:
\(a+b+c=a+\left(b+c\right)\ge2\sqrt{a\left(b+c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}\ge\frac{2\sqrt{a}\sqrt{b+c}}{a}=\frac{2\sqrt{b+c}}{\sqrt{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự với 2 số còn lại, cộng theo vế ta được \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b+c;b=c+a;c=a+b\text{ }\Rightarrow a+b+c=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c=0\text{ (loại)}\)
Vậy đẳng thức không xảy ra, ta có đpcm.