Cho a,b>0 và a+b=2. Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
Y
19 tháng 5 2019
Theo BĐT AM-GM :
\(\sqrt{b}=\sqrt{b\cdot1}\le\frac{b+1}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}\ge\frac{a}{\frac{b+1}{2}}=\frac{2a}{b+1}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
+ Tương tự ta cm đc :
\(\frac{b}{\sqrt{c}}\ge\frac{2b}{c+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow c=1\)
\(\frac{c}{\sqrt{a}}\ge\frac{2c}{a+1}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=1\)
Do đó : \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\ge2\left(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+}+\frac{c}{a+1}\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
KN
31 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cauchy cho các cặp số dương, ta có: \(VT=\Sigma\frac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\Sigma\frac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}\)
\(\ge\Sigma\frac{a}{\frac{\left(b+1\right)+\left(b^2-b+1\right)}{2}}=\Sigma\frac{2a}{b^2+2}=\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{b^2+2}\right)\)
\(=\Sigma\left(a-\frac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\right)\ge\Sigma\left(a-\frac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}\right)\)\(=\Sigma\left[a-\frac{a\sqrt[3]{2b^2}}{3}\right]=\Sigma\left[a-\frac{a\sqrt[3]{2.b.b}}{3}\right]\)
\(\ge\Sigma\left[a-\frac{a\left(2+b+b\right)}{9}\right]\)\(=\left(a+b+c\right)-\frac{2\left(a+b+c\right)}{9}-\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)
\(=\frac{7\left(a+b+c\right)}{9}-\frac{2\left(ab+bc+ca\right)}{9}\)\(\ge\frac{7\left(a+b+c\right)}{9}-\frac{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{9}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
LH
1
25 tháng 6 2017
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\)= \(\frac{a^2-2ab+b^2+2ab}{a-b}\)= \(\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}\)= (a -b) + \(\frac{2ab}{a-b}\)
Vì a>b>0 nên áp dụng BĐT Cô-Si cho 2 số không âm ta có :
(a - b) +\(\frac{2ab}{a-b}\)\(\ge\)\(2\sqrt{\left(a-b\right)\cdot\frac{2ab}{a-b}}\)= 2\(\sqrt{2ab}\)= \(2\sqrt{2}\)( Vì ab = 1) ( đpcm)
CH
1
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2020
Lời giải:
Do $a>b$ nên $a-b>0$
Áp dụng BĐT AM-GM với các số dương ta có:
\(a+\frac{1}{b(a-b)^2}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+b+\frac{1}{b(a-b)^2}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a-b}{2}.\frac{a-b}{2}.b.\frac{1}{b(a-b)^2}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{4}}=2\sqrt{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a-b}{2}=b=\frac{1}{b(a-b)^2}\Leftrightarrow a=3\sqrt{\frac{1}{2}}; b=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
LD
5
28 tháng 6 2020
ta có: \(\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{4a+3a+b}{2}=\frac{7a+b}{2}\)
=> \(\sqrt{a\left(3a+b\right)}\le\frac{7a+b}{4}\)
\(\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le\frac{7b+a}{4}\)
\(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{\frac{7a+b}{4}+\frac{7b+a}{4}}=\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
28 tháng 6 2020
Sửa đề: CM: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{1}{2}\)
Ta có \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}=\frac{2\left(a+b\right)}{\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các só dương ta được
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{4a+\left(3a+b\right)}{2}=\frac{7a+b}{2}\left(2\right)\\\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le\frac{4b+\left(3b+a\right)}{2}=\frac{7b+a}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (2) và (3) \(\Rightarrow\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le4a+4b\left(4\right)\)
Từ (1) và (4) => \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{4a+4b}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
vì a + b = 2 nên a = 2 - b và b = 2 - a
\(VT=\frac{2-b}{\sqrt{b}}+\frac{2-a}{\sqrt{a}}=\frac{2}{\sqrt{b}}-\sqrt{b}+\frac{2}{\sqrt{a}}-\sqrt{a}\)
\(VT=\left(\frac{2}{\sqrt{a}}+\frac{2}{\sqrt{b}}\right)-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
cm đc : \(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\) áp dụng vào ta được :
\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\le2\left(a+b\right)=4\) \(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le2\)
\(\Leftrightarrow-\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\ge-2\) (1)
cm đc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) áp dụng vào ta có : \(2\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)\ge\frac{8}{\sqrt{a}+b}\)
mà \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le2\Rightarrow\frac{8}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\ge\frac{8}{2}=4\) (1)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow VT\ge4-2=2\)
dấu = xảy ra khi a = b = 1
mik làm cách khác nhưng cảm ơn bạn nhoa