Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{a}{b}\)<\(\dfrac{c}{d}\) (b;d > 0) thì \(\dfrac{a}{b}\)<\(\dfrac{a+c}{b+d}\)<\(\dfrac{c}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 5 2018
Vì \(a,b,c,d\in N^{\circledast}\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c< a+b+c+d\\a+b+d< a+b+c+d\\b+c+d< a+b+c+d\\a+c+d< a+b+c+d\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\\ \dfrac{b}{a+b+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\\ \dfrac{c}{b+c+d}>\dfrac{c}{a+b+c+d}\\ \dfrac{d}{a+c+d}>\dfrac{d}{a+b+c+d}\\ \Rightarrow P>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=1\\ \Rightarrow P>1\left(1\right)\)
Vì \(a,b,c,d\in N^{\circledast}\) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c>d\\a+b+d>c\\b+c+d>a\\a+c+d>b\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{a+b+c}=\dfrac{2a}{\left(a+b+c\right)+\left(a+b+c\right)}< \dfrac{2a}{a+b+c+d}\)
\(\dfrac{b}{a+b+d}=\dfrac{2b}{\left(a+b+d\right)+\left(a+b+d\right)}< \dfrac{2b}{a+b+c+d}\left(a+b+d>c\right)\\ \dfrac{c}{b+c+d}=\dfrac{2c}{\left(b+c+d\right)+\left(b+c+d\right)}< \dfrac{2c}{a+b+c+d}\left(b+c+d>a\right)\\ \dfrac{d}{a+c+d}=\dfrac{2d}{\left(a+c+d\right)+\left(a+c+d\right)}< \dfrac{2d}{a+b+c+d}\left(a+c+d>b\right)\)
Từ đó, ta có :
\(\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+d}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}< \\ \dfrac{2a}{a+b+c+d}+\dfrac{2b}{a+b+c+d}+\dfrac{2c}{a+b+c+d}+\dfrac{2d}{a+b+c+d}=2\\ \Rightarrow P< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh.
9 tháng 10 2021
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng t/c dtsbn:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b}{c+d}\Rightarrow\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{c-d}{c+d}\)
5 tháng 9 2017
1. Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab}{cd},\dfrac{c}{d}=\dfrac{bc}{bd}\)
a) Mẫu chung bd > 0 ( do b > 0, d > 0 ) nên nếu \(\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\) thì ad < bc
b) Ngược lại, Nếu ad < bc thì \(\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}.\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)
Ta có thể viết: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)
5 tháng 9 2017
2. a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\) ( 1 )
Thêm ab vào 2 vế của (1): \(ad+ab< bc+ab\)
\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) ( 2 )
Thêm cd vào 2 vế của (1): \(ad+cd< bc+cd\)
\(d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) ( 3 )
Từ (2) và (3) ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)
12 tháng 8 2021
a: Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
nên \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
d: Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
nên \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
9 tháng 6 2017
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a.d}{b.d}\) và \(\dfrac{c}{d}=\dfrac{c.b}{d.b}\)
Từ trên suy ra :
Nếu ad < bc thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) \(\left(ĐPCM\right)\)
QD
8 tháng 6 2017
1
a) Vì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\)
\(\Rightarrow ad< bc\)
2
b) Ta có : \(\dfrac{-1}{3}=\dfrac{-16}{48};\dfrac{-1}{4}=\dfrac{-12}{48}\)
Ta có dãy sau : \(\dfrac{-16}{48};\dfrac{-15}{48};\dfrac{-14}{48};\dfrac{-13}{48};\dfrac{-12}{48}\)
Vậy 3 số hữu tỉ xen giữa \(\dfrac{-1}{3}\) và \(\dfrac{-1}{4}\) là :\(\dfrac{-15}{48};\dfrac{-14}{48};\dfrac{-13}{48}\)
8 tháng 6 2017
1a ) Ta có : \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{ad}{bd}\) < \(\dfrac{bc}{bd}\) \(\Rightarrow\) ad < bc
1b ) Như trên
2b) \(\dfrac{-1}{3}\) = \(\dfrac{-16}{48}\) ; \(\dfrac{-1}{4}\) = \(\dfrac{-12}{48}\)
\(\dfrac{-16}{48}\) < \(\dfrac{-15}{48}\) <\(\dfrac{-14}{48}\) < \(\dfrac{-13}{48}\) < \(\dfrac{-12}{48}\)
Vậy 3 số hữu tỉ xen giữa là.................
24 tháng 8 2017
Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
NG
25 tháng 8 2017
Vì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) nên \(ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (đpcm)
Chúc Bạn Học Tốt !!!
4 tháng 8 2017
Theo đề bài ta có:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\dfrac{a}{c}\left(1\right)\)
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b-a+b}{c+d-c+d}=\dfrac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) ta có:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\rightarrowđpcm\)
NH
4 tháng 8 2017
- Theo đề bài:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)\(=\dfrac{a+b+a-b}{c+d+c-d}\)\(=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{a}{c}\) (1)
\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}\)\(=\dfrac{a+b-\left(a-b\right)}{c+d-\left(c-d\right)}=\dfrac{a+b-a+b}{c+d-c+d}=\dfrac{2b}{2d}=\dfrac{b}{d}\) (2)
- Từ (1) và (2)
=> \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)( đpcm )
8 tháng 10 2021
Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}\)
\(\Leftrightarrow1+\dfrac{b}{a}=1+\dfrac{d}{c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\)
8 tháng 10 2021
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Áp dụng t/c dtsbn:
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{c+d}{c}\)
24 tháng 8 2021
Ta có: \(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2=\left(a-d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+d-a+d\right)\left(a+d+a-d\right)=\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(\Leftrightarrow2d\cdot2a=2c\cdot2b\)
\(\Leftrightarrow ad=bc\)
hay \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+cd< bc+dc\)
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) (1)
\(ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\left(đpcm\right)\)
Ta có :
\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\Rightarrow a\left(d+b\right)< b\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
Lại có :
\(ad< bc\Rightarrow ad+cd< bc+cd\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\rightarrowđpcm\)