Chứng minh bất đẳng thức Cho x, y, z là các số dương (chứng minh hộ mình phần b) thôi) a) CMR : $3\left(x^2 y^2 z^2\right)\ge\left(x y z\right)^2$ b) Cho x, y, z thỏa mãn : \(3 \dfrac{1}{x} \dfra...

HM

Hùng Mạnh

11 tháng 6 2017

Chứng minh bất đẳng thức Cho x, y, z là các số dương (chứng minh hộ mình phần b) thôi) a) CMR : $3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$ b) Cho x, y, z thỏa mãn : $3+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=12\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)$ CMR :...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

ND

Nguyễn Đặng Hoàng Anh

4 tháng 9 2021

Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0

a) $x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}$

b) $x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}$

c) $x^4+y^4\ge\dfrac{\left(x+y\right)^4}{8}$

e) $x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}$

f) $x^3+y^3+z^3\ge3xyz$

#Toán lớp 8

5

LL

Lấp La Lấp Lánh

4 tháng 9 2021

a) $x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}$

$\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy$

$\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)$

b) $x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}$

$\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2$

$\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0$

$\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)$

Đúng(1)

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

4 tháng 9 2021

a: Ta có: $x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}$

$\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0$

$\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0$

$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0$(luôn đúng)

Đúng(1)

DT

Dương Thiên Tuệ

18 tháng 12 2018 - olm

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn xyz=1.Chứng minh bất đẳng thức

$\frac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(x+2y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(x+y+2z\right)^2}\le\frac{3}{16}$

#Toán lớp 9

0

HM

Hùng Mạnh

11 tháng 6 2017 - olm

Cho x, y, z là 3 số dương (chứng minh hộ mình phần b) thôi)

a) $3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2$

b) $3+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=12\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)$

CMR : $\frac{1}{4x+y+z}+\frac{1}{x+4y+z}+\frac{1}{x+y+4z}\le\frac{1}{6}$

#Toán lớp 9

1

R

Rau

12 tháng 6 2017

thế nào nhỉ ( :
Từ giả thiết => 1/x +1/y +1/z <= 1
A/d BĐT 1/(x +y+z) <= 1/9 ( 1/x + 1/y +1/z ) và 1/(x+y) <= 1/4 ( 1/x +1/y )
=> 1/(4x + y+z) = 1/(x+x + y+x + z+x) <= 1/9 ( 1/2x + 1/(y+x) + 1/(z+x) ) <= 1/9 ( 1/(2x) + 1/4(1/y +1/x) + 1/4(1/x + 1/z))
Tương tự cộng lại và sử dụng 1/x +1/y +1/z <= 1
được P <= 1/6(1/x +1/y +1/z) <= 1/6 ĐPCM.

Đúng(0)

V

:vvv

12 tháng 3 2021

Cho các số x, y, z dương thỏa mãn: $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=3$

Cmr: $\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2y+z+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2z+x+y\right)^2}\ge\dfrac{3}{16}$

#Toán lớp 8

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

13 tháng 3 2021

Thay $x=\sqrt{\frac{1}{2,5}}; y=z=\sqrt{\frac{1}{0,25}}$ ta thấy đề sai bạn nhé!

Đúng(1)

V

:vvv

13 tháng 3 2021

Thầy ơi, nhưng câu này là đề thi huyện chỗ em á thầy, em cũng chả biết làm sao nữa, chả nhẽ đề thi huyện lại sai:"(

Đúng(0)

TM

Tuấn Minh Nguyễn

6 tháng 11 2018 - olm

a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs $ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$

b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:

$6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

#Toán lớp 9

1

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 11 2018

$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$ ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$$a=b=c$

CM bđt phụ : $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$

$\Leftrightarrow$$2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx$

$\Leftrightarrow$$2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0$

$\Leftrightarrow$$\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0$

$\Leftrightarrow$$\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0$ ( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$$x=y=z$

Chúc bạn học tốt ~

Đúng(0)

NT

Nguyễn Tuấn Minh

6 tháng 11 2018

a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a có $ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}$

b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:

$6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\ge9$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

#Toán lớp 9

3

MS

Mashiro Shiina

6 tháng 11 2018

$6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)$

$=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)$

$=6\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{2z+x+y}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)$

$\ge6\left(x+y+z\right)^2+2.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+y+z+x+2y+z+2z+x+y}-2\left(xy+yz+xz\right)$

$=6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-2\left(xy+yz+xz\right)$

$\ge6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2$

$=6.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{18}{4.\dfrac{3}{4}}-\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=9$

$"="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{4}$

Đúng(0)

DK

Diệp Kì Thiên

6 tháng 11 2018

a) ab+bc+ca$\le\dfrac{\left(a+c+b\right)^2}{3}$

$\Leftrightarrow3ab+3bc+3ac\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

$\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2$

$\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0$

$\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0$ (luôn đúng $\forall a,b,c$

Đúng(0)

TM

Tuấn Minh Nguyễn

6 tháng 11 2018 - olm

b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:

$6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

#Toán lớp 9

1

PM

Phùng Minh Quân

6 tháng 11 2018

hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn

$VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}$

$=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}$

$=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9$

$\Rightarrow$$VT\ge9$ ( đpcm )

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$$x=y=z=\frac{1}{4}$

Chúc bạn học tốt ~

Đúng(0)

DF

dia fic

8 tháng 1 2021

cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn x+y≤z. CMR: $\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge\dfrac{27}{2}$

#Toán lớp 8

1

TM

Trần Minh Hoàng

8 tháng 1 2021

Đặt $\dfrac{x}{z}=a;\dfrac{y}{z}=b$.

Theo gt ta có $a+b\le1$.

BĐT cần chứng minh tương đương:

$a^2+b^2+\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{21}{2}$.

Theo bđt AM - GM: $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2}\ge2;a^2+\dfrac{1}{16}a^2\ge\dfrac{1}{2};b^2+\dfrac{1}{16}b^2\ge\dfrac{1}{2};\dfrac{15}{16}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\ge\dfrac{15}{32}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{15}{32}.\left(\dfrac{4}{a+b}\right)^2\ge\dfrac{15}{2}$.

Cộng vế với vế của các bđt trên lại ta có đpcm.

Đúng(1)

GK

Giao Khánh Linh

5 tháng 12 2019 - olm

Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh: $\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\ge\frac{3}{2}$

#Toán lớp 9

1

AN

alibaba nguyễn

6 tháng 12 2019

$\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}$

$=\frac{y^2z^2}{x\left(y+z\right)}+\frac{z^2x^2}{y\left(z+x\right)}+\frac{x^2y^2}{z\left(x+y\right)}$

$\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}}{2}=\frac{3}{2}$

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP