Cjo 3 số dương a,b,c . CMR
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 9 2021
Lời giải:
$\text{VT}=\sum \frac{a^2}{a+b^2}=\sum (a-\frac{ab^2}{a+b^2})$
$=\sum a-\sum \frac{ab^2}{a+b^2}$
$\geq \sum a-\sum \frac{ab^2}{2b\sqrt{a}}$ (theo BĐT AM-GM)
$=\sum a-\frac{1}{2}\sum \sqrt{ab^2}$
$\geq \sum a-\frac{1}{2}\sum \frac{ab+b}{2}$ (AM-GM)
$=\frac{3}{4}\sum a-\frac{1}{4}\sum ab$
Giờ ta chỉ cần cm $\sum a\geq \sum ab$ là bài toán được giải quyết
Thật vậy:
Đặt $\sum ab=t$ thì hiển nhiên $0< t\leq 3$ theo BĐT AM-GM
$(\sum a)^2-(\sum ab)^2=3+2t-t^2=(3-t)(t+1)\geq 0$ với mọi $0< t\leq 3$
$\Rightarrow \sum a\geq \sum ab$
Vậy ta có đcpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 9 2021
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
18 tháng 9 2021
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ
25 tháng 5 2022
\(a,b,c>0\)
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+15bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+15ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+15ab}}\ge\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+15bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+15ca}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+15ab}}\ge\dfrac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta được:
\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+15bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+15ca}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+15ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+15bc}+b\sqrt{b^2+15ca}+c\sqrt{c^2+15ab}}\)
Ta chứng minh rằng:
\(a\sqrt{a^2+15bc}+b\sqrt{b^2+15ca}+c\sqrt{c^2+15ab}\le\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\sqrt{a^3+15abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+15abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+15abc}\le\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được:
\(\sqrt{a}\sqrt{a^3+15abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+15abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+15abc}\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+45abc\right)}\)Ta tiếp tục chứng minh:
\(\dfrac{16}{9}\left(a+b+c\right)^3\ge a^3+b^3+c^3+45abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{16}{9}\left(a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right)\ge a^3+b^3+c^3+45abc\)
Áp dụng BĐT AM-GM (Caushy) ta được:
\(\dfrac{16}{9}\left(a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right)\ge\dfrac{16}{9}\left(a^3+b^3+c^3+3.2\sqrt{ab}.2.\sqrt{bc}.2.\sqrt{ca}\right)=\dfrac{16}{9}.\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)\)
Ta chứng minh:
\(\dfrac{16}{9}\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)\ge a^3+b^3+c^3+45abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{16}{9}a^3+\dfrac{16}{9}b^3+\dfrac{16}{9}c^3+\dfrac{16}{9}.24abc\ge a^3+b^3+c^3+45abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{7}{9}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{7}{3}abc\) (*)
Áp dụng BĐT AM-GM (Caushy) ta được:
\(\dfrac{7}{9}\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{7}{9}.3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=\dfrac{7}{3}abc\)
\(\Rightarrow\) (*) đúng.
Vậy BĐT đã được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c>0\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 3 2022
Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(P=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2011}\)
Đồng thời: \(\left\{{}\begin{matrix}y^2+z^2-x^2=2a^2\\z^2+x^2-y^2=2b^2\\x^2+y^2-z^2=2c^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(\dfrac{\left(y+z+z+x+x+y\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
23 tháng 9 2021
Áp dụng BĐT Cosi:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+ab}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2\left(b^2+ab\right)}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2b\left(a+b\right)}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{2b+a+b}{2}}=\dfrac{2\sqrt{2}a}{a+3b}\)
Cmtt: \(\dfrac{b}{\sqrt{c^2+bc}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}b}{b+3c};\dfrac{c}{\sqrt{a^2+ca}}\ge\dfrac{2\sqrt{2}c}{c+3a}\)
\(\Leftrightarrow P\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge2\left(\dfrac{a}{a+3b}+\dfrac{b}{b+3c}+\dfrac{c}{c+3a}\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\ge\dfrac{2}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}\\ \Leftrightarrow P\ge\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
UK
4 tháng 12 2017
Đặt vế trái là T, ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{b+1}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{b+1+2}{2}}=\dfrac{a.2\sqrt{2}}{b+3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}\ge\dfrac{b.2\sqrt{2}}{c+3}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\dfrac{c.2\sqrt{2}}{a+3}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được
\(T\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{b+3}+\dfrac{b}{c+3}+\dfrac{c}{a+3}\right)=2\sqrt{2}\left(\dfrac{a^2}{ab+3a}+\dfrac{b^2}{bc+3b}+\dfrac{c^2}{ac+3c}\right)\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)}\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3\left(a+b+c\right)}\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{3^2}{\dfrac{3^2}{3}+9}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
UK
4 tháng 12 2017
b) Đặt vế trái là N,ta có:
\(\sum\sqrt{\dfrac{a^3}{b+3}}=\sum\sqrt{\dfrac{a^4}{ab+3}}=\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{ab+3}}=\sum\dfrac{2a^2}{\sqrt{4a\left(b+3\right)}}\ge\sum\dfrac{2a^2}{\dfrac{4a+b+3}{2}}=\sum\dfrac{4a^2}{4a+b+3}\)
\(\sum\dfrac{4a^2}{4a+b+3}\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4a+b+3+4b+c+3+4c+a+3}=\dfrac{3}{2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
Do a,b,c dương
Để làm bài này bạn cần chứng minh BĐT sau\(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)(m;n>0)
<=>(m+n)(nx2+my2)-mn(x+y)2\(\ge\)0
Mình làm tắt,rút gọn luôn
<=>n2x2-2mnxy+m2y2\(\ge\)0
<=>(nx-my)2\(\ge\)0
=>BĐT trên được chứng minh và dấu bằng xảy ra khi nx=my
Mở rộng cho 3 số \(\dfrac{x^2}{m}+\dfrac{y^2}{n}+\dfrac{z^2}{p}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)
Áp dụng BĐT trên ta được:
\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
bạn có thể gọi BĐT trên là BĐT Svac-xơ (hệ quả đc suy ra từ BĐT Bu-nhi-a)