Cho 2 số x,y thoả mãn điều kiện 3x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức M= 3x^2 + y^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 5 2021
\(\Leftrightarrow3x^2+2y^2+2z^2+2yz=2\)
\(\Rightarrow2\ge3x^2+2y^2+2z^2+y^2+z^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Có: \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2\)
\(\Rightarrow\)\(A^2\le2\) \(\Leftrightarrow A\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\)
minA=-1\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=-\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
maxA=1\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=\sqrt{2}\\x=y=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
TT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 1 2021
Đề bài là thế này đúng không bạn:
Cho các số thực không âm x; y thỏa mãn: \(x^2+y^2\le2\)
Tìm GTLN của: \(P=\sqrt{29x+3y}+\sqrt{3x+29y}\)
P/s: bạn nên sử dụng tính năng gõ công thức để người khác dễ đọc hơn (đây là tính năng rất đơn giản, dễ dàng làm quen, nó nằm ở biểu tượng \(\sum\) trên khung soạn thảo)
27 tháng 12 2018
Ta có: 3x + y = 1 => y = 1 - 3x
=> M = 3x2 + y2 = 3x2 + (1-3x)2
= 3x2 + 1 - 6x + 9x2
= 12x2 - 6x + 1
= 12.(x2 -\(\frac{1}{2}x\) + \(\frac{1}{12}\))
= 12.((x2 - 2. \(\frac{1}{4}x\)+ \(\frac{1}{16}\)) - \(\frac{1}{16}\)+ \(\frac{1}{12}\))
= 12.((x-\(\frac{1}{4}\))2 + \(\frac{1}{48}\))
= 12. (x-\(\frac{1}{4}\))2 + \(\frac{1}{4}\)
=> M \(\ge\)\(\frac{1}{4}\)
Dấu ''='' xảy ra khi: (x - \(\frac{1}{4}\))2 = 0 => x = \(\frac{1}{4}\)
Vậy Mmin= \(\frac{1}{4}\)khi x= \(\frac{1}{4}\)
TX
0
NH
15 tháng 5 2021
Ta có: 3x + y = 1 => y = 1 - 3x
a, Thay y = 1 - 3x vào M, ta có:
\(\Rightarrow M=3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+1-6x+9x^2=12x^2-6x+1=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{3}\right)\)
\(=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{12}=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-\frac{1}{2}=0\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN M = 1/4 khi x = y = 1/4
b, Thay y = 1 - 3x vào N
\(\Rightarrow N=x\left(1-3x\right)=x-3x^2=-3\left(x^2-\frac{x}{3}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}\right)\)
\(=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-3.\left(-\frac{1}{36}\right)=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\)
Vì \(\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\le\frac{1}{12}\forall x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{6}=0\\3x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy GTLN N = 1/12 khi x = 1/6 và y = 1/2
14 tháng 12 2017
Ta có: \(3x+y-1=0\)
\(\Rightarrow3x+y=1\)
Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski, ta có:
\(\left(3x^2+y^2\right)\left(3+1\right)=\left[\left(\sqrt{3}x\right)^2+y^2\right]\left[\left(\sqrt{3}\right)^2+1^2\right]\ge\left(\sqrt{3}x.\sqrt{3}+y.1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4B\ge1^2\)
\(\Leftrightarrow B\ge\frac{1}{4}\)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{\sqrt{3}x}{\sqrt{3}}=\frac{y}{1}\Rightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy........
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(3+1\right)\left(3x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(3x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(3x^2+y^2\right)\ge\left(3x+y\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow M=3x^2+y^2\ge\dfrac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{4}\)