Question

[wary reus]

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC. Hạ MH vuông góc AB tại H, tia MB cắt CA tại E, kẻ EI vuông góc AB tại I . Gọi K là giao điểm AC và MH. C/m:

a, \(AK.AC=AM^2\)

b, AE.AC+BE.BM không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung AC

c, Khi M chuyển động trên cung AC thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MIC đi qua 2 điểm cố định

Answer 1

[Hoài Ngọc]

có đáp án chưa ạ ? cho tui tham khảo với

Answer 2

[Kim So Hyun]

Kẻ MH cắt (O) tại P, EI cắt (O) tại Q

Xét (O) có: \(\left\{{}\begin{matrix}MP\perp AO=\left\{H\right\}\\AO=R\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow MH=HP\)

\(\Rightarrow\) \(s\bar{d}\stackrel\frown{MA}=s\bar{d}\stackrel\frown{AP}\)

Lại có: \(\widehat{AMC}=s\bar{d}\stackrel\frown{AC}/2\) (đl góc nội tiếp) (!)

\(\widehat{AKM}=(s\bar{d}\stackrel\frown{AM}+s\bar{d}\stackrel\frown{CP})/2\) (đl góc có đỉnh bên trong đường tròn)

( mà \(s\bar{d}\stackrel\frown{AM}=s\bar{d}\stackrel\frown{AP}\) )

\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{AKM}=(s\bar{d}\stackrel\frown{AP}+s\bar{d}\stackrel\frown{PC})/2=s\bar{d}\stackrel\frown{AC}/2\) (!!)

Từ (!) (!!) \(\Rightarrow\) \(\widehat{AKM}=\widehat{AKM}\)

Xét ΔAKM∼ΔAMC vì:

\(\widehat{AKM}=\widehat{AKM}(cmtrn)\)

\(\widehat{MAC}:chung\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AK}{AM}\) \(\Leftrightarrow AK.AC=AM^2\) (đpcm)