Cho \(a^2+b^2=2\) . CMR \(\left(a+b\right)^5\ge16ab\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LB
3 tháng 12 2017
a)ta có \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow1\ge ab\)
theo bđt cauchy schwarz ta có
\(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\left(\dfrac{a}{b^2}+\dfrac{b}{a^2}\right)\ge2\sqrt{\dfrac{a.b}{a.b}}.2\sqrt{\dfrac{a.b}{a^2.b^2}}=2.1.2\dfrac{1}{1^2}=4\)
\(\Rightarrow dpcm\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 5 2019
\(1+a^2=a^2+ab+ac+bc=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự với 2 biểu thức còn lại
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{\left(1+a^2\right)}}=\sqrt{\frac{\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=b+c\)
\(\sqrt{\frac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}=a+c\)
\(\Rightarrow VT=\left(1-a^2\right)\left(b+c\right)+\left(1-b^2\right)\left(a+c\right)\)
\(=b+c-a^2b-a^2c+a+c-ab^2-b^2c\)
\(=2c+a+b-a\left(1-bc-ac\right)-a^2c-b\left(1-bc-ac\right)-b^2c\)
\(=2c+a+b-a+abc+a^2c-a^2c-b+b^2c+abc-b^2c\)
\(=2c+2abc=2c\left(1+ab\right)\)
6 tháng 10 2020
1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
=> Đẳng thức không xảy ra
6 tháng 10 2020
2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)
28 tháng 11 2017
\(2\left(1+abc\right)+\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\)
\(=2\left(1+abc\right)+\sqrt{\left[\left(a+1\right)^2+\left(1-a\right)^2\right]\left[\left(b+c\right)^2+\left(bc-1\right)^2\right]}\)
\(\ge2\left(1+abc\right)+\left(a+1\right)\left(b+c\right)+\left(1-a\right)\left(bc-1\right)\)
\(=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
LV
10 tháng 12 2017
\(2\left(1+abc\right)+\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}.\)
\(=2\left(1+abc\right)+\sqrt{\left[\left(a+1\right)^2+\left(1-a\right)^2\right]\left[\left(b+c\right)^2+\left(bc-1\right)^2\right]}\)
\(\ge2\left(1+abc\right)+\left(a+1\right)\left(b+c\right)+\left(1-a\right)\left(bc-1\right)\)
\(=\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Lời giải:
Bài toán chỉ đúng cho \(a,b>0\). Nếu tồn tại $2$ số âm thấy ngay nó không đúng.
Với điều kiện dương, BĐT cần CM tương đương với:
\((a^2+b^2+2ab)^5\geq 256(ab)^2(1+a^2+b^2+a^2b^2)\)
Đặt \(t=ab\Rightarrow 2t=2ab\leq a^2+b^2=2\Rightarrow 0< t\leq 1\)
Cần CM \((2t+2)^5\geq 256t^2(3+t^2)\Leftrightarrow (t+1)^5\geq 8t^2(t^2+3)\) \((\star)\)
Theo BĐT Cauchy thì \((t+1)^2\geq 4t\Rightarrow (t+1)^5\geq 4t(t+1)^3\)
Theo tính chất bắc cầu ta chỉ cần chỉ ra
\(4t(t+1)^3\geq 8t^2(t^2+3)\Leftrightarrow (t+1)^3\geq 2t(t^2+3)\)
\(\Leftrightarrow (t-1)^3\leq 0\) (luôn đúng do \(t\leq 1\) )
BĐT \((\star)\) được chứng minh. Bài toán hoàn tất
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)