Chứng minh rằng: nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của cặp cạnh đối diện một tứ giác bằng nửa tổng hai cạnh kia thì tứ giác đó là hình thang
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 8 2016
từ đó lần lược chứng minh đoạn thẳng ấy song song với từng đáy
23 tháng 3 2016
Gọi M. N, P và Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD, BC và DA của tứ giác lồi ABCD
Khi đó :
\(\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)\) và \(\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}\right)\)
Ta có : \(\left|\overrightarrow{MN}\right|+\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}\right|\right)\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{AD}\right|+\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{BA}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AD}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC}\) và \(\overrightarrow{BA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD}\)
Suy ra điều cần chứng minh
Giải
Gọi M, N, I là trung điểm của hai cạnh AB, CD và đường chéo AC
Trong \(\Delta\)ABD ta có: MI = \(\frac{AD}{2}\)
và MI // AD (vì MI là đường trung bình)
Trong \(\Delta\)BCD ta có: NI = \(\frac{BC}{2}\)
và NI // BC (NI là đường trung bình)
=> MI + NI = \(\frac{AD+BC}{2}\) (1)
Mặt khác, theo giả thiết MN = \(\frac{AD+BC}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) => MN = MI + NI, đẳng thức này chứng tỏ I nằm trên đoạn MN
Vậy MN song song với AD và BC, hay tứ giác ABCD là hình thang