Question

[Vũ Sơn Tùng]

cho a,b>0 và a+b=1.Tìm Min của M=(1+1/a)^2+(1+1/b)^2

Answer 1

[Kuro Kazuya]

\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\)

Thay \(a+b=1\) vào biểu thức:

\(\Rightarrow M=\left(1+\frac{a+b}{a}\right)^2+\left(1+\frac{a+b}{b}\right)^2\)

\(M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\left(2+\frac{b}{a}\right)^2\ge\frac{8b}{a}\\\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge\frac{8a}{b}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge\frac{8b}{a}+\frac{8a}{b}=8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô - si:

\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ab}}=2\)

\(\Rightarrow8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge16\)

Mà \(M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge8\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

\(\Rightarrow M=\left(2+\frac{b}{a}\right)^2+\left(2+\frac{a}{b}\right)^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge16\)

Vậy GTNN của \(M=16\)

Answer 2

[soyeon_Tiểubàng giải]

Ở lần áp dụng Cô si đầu tiên, dấu "=" xảy ra khi 2 = a/b = b/a (*)

Đến đây chắc hẳn bn đã thấy vô lí vì khi a/b = b/a <=> a² = b² <=> a = -b hoặc a = b

Mà theo đề bài a;b > 0 nên a = b => a/b = b/a = 1, mâu thuãn với (*)