Cho x>y>0.Cmr : \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
2
20 tháng 2 2019
Ta có:\(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+xy^2-yx^2-y^3< x^3+x^2y-y^2x-y^3\)
\(\Leftrightarrow xy^2-yx^2< x^2y-y^2x\)
\(\Rightarrow2xy^2< 2yx^2\)
\(\Rightarrow y< x\)(luôn đúng)
Vậy \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
20 tháng 2 2019
\(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}-\frac{x-y}{x+y}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)-\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2+2xy-x^2-y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)2xy}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}>0\)( luôn đúng vì x>y>0)
\(\Rightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x-y}{x+y}\)
đpcm
11 tháng 3 2018
a, Áp dụng bđt cosi ta có :
2xy.(x^2+y^2) < = (2xy+x^2+y^2)^2/4 = (x+y)^4/4 = 2^4/4 = 4
<=> xy.(x^2+y^2) < = 2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
Vậy ............
Tk mk nha
11 tháng 3 2018
b, Có : x.y < = (x+y)^2/4 = 2^2/4 = 1
<=> 2xy < = 2
Ta có : 1/x^2+y^2 + 1/xy = 1/x^2+y^2 + 1/2xy + 1/2xy >= \(\frac{9}{x^2+y^2+2xy+2xy}\)
= \(\frac{9}{\left(x+y\right)^2+2xy}\)
< = \(\frac{9}{2^2+2}\)= 3/2
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
TA
1
ML
21 tháng 8 2016
\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)
Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)
bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)
20 tháng 7 2019
\(1,A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y^2\right)}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{2}}\ge\frac{4}{1}+\frac{2}{1}=6\)
Dấu "=" <=> x= y = 1/2
20 tháng 7 2019
\(2,A=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{9y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{8x}{9y}\ge2\sqrt{\frac{x}{9y}.\frac{y}{x}}+\frac{8.3y}{9y}\)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8.3}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" <=> x = 3y
19 tháng 6 2015
Đặt B\(=\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x^2-y^2\right)^2}+\frac{x^2}{\left(y^2-x^2\right)}\)
\(B=\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2}-\frac{x^2}{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\) (làm tắt đấy x^2/(y^2 - x^2) = - x^2 /(x^2 - y^2)
Thay x + y = 1 vào B ta có
\(B=\frac{y^2}{\left(x-y\right)^2}-\frac{2x^2y}{\left(x-y\right)^2}-\frac{x^2}{x-y}\)
\(B=\frac{y^2-2x^2y-x^2\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)^2}=\frac{y^2-x^2y-x^3}{\left(x-y\right)^2}\)
A = \(\frac{y-x}{xy}:B=\frac{y-x}{xy}\cdot\frac{\left(x-y\right)^2}{\left(y^2-x^2y-x^3\right)}=\frac{\left(x-y\right)^3}{-xy\left(y^2-x^2y-x^3\right)}\)
Sorry mình không giúp đc bạn
Do \(x>y>0\) nên \(x+y\ne0\).Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có :
\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}\) \(\left(1\right).\)
Mặt khác , do \(x,y>0\) nên \(x^2+2xy+y^2>x^2+y^2\)
Vậy \(\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) \(\left(2\right).\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\).