cho a+b+c=3 .chứng minh :a^2 + b^2 + c^2 + ab+ bc +ac >= 6
HELPPPPPPPPPP
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 8 2016
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
25 tháng 1 2020
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
NT
7 tháng 8 2018
Hãy tích cho tui đi
vì câu này dễ mặc dù tui ko biết làm
Yên tâm khi bạn tích cho tui
Tui sẽ ko tích lại bạn đâu
THANKS
18 tháng 1 2021
\(a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3-2a-2b-2c\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Dấu ''='' xảy ra <=> a = b = c = 1
HP
0
10 tháng 8 2021
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ac-2bc-2ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=b=c\)
T
14 tháng 8 2018
a, a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
a2+b2+c2+3-2a-2b-2c=0
(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
mà (a-1)2+(b-1)2+(c-1)2\(\ge\)0
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a-1=0\\b-1=0\\c-1=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\\c=1\end{matrix}\right.\)
=> a=b=c=1
VD
1
28 tháng 8 2016
Ta có:\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow1\ge ab+bc+ca}\)(1)
Lại có:\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\le1+2=3\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\Rightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a+b+c+ab+bc+ca\le1+\sqrt{3}\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\)
\(=>2\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\ge12\)
\(=>2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
\(=>a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
Do \(a+b+c=3\)
\(=>\left(a+b+c\right)^2=9\\ =>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\)
Thế vào biểu thức \(a^2+b^2+c^2+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\ge12\)
Ta có \(a^2+b^2+c^2+9\ge12\)
\(=>a^2+b^2+c^2\ge3\) (1)
Ta có \(\begin{cases}a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9\\a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\end{cases}\)
\(=>\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-\left(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc\right)\ge3\)
\(=>\left(2ab+2ac+2bc\right)-\left(ab+ac+bc\right)\ge3\)
\(=>ab+bc+ac\ge3\) (2)
Từ (1) và (2)
\(=>a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge6\)