Question

[Ác Quỷ Bóng Đêm]

Cho nửa đường tròn tâm O.Đường kính AB,AC là dây cung của nó.

Tiếp tuyến Ax; phân giác góc CAx giao với BC tại D.AD giao với đường tròn tâm O tại E.

Chứng minh:

a, Tam giác ABD cân. OE song song với BD.

b,AC giao với BE tại I. Chứng minh DI vuông góc với AB.

c,C di động trên nửa đường tròn tâm O thì D chạy trên đường nào

Answer 1

[Nguyễn Yến Nhi]

a) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với Ax tại N

Ta có EN song song AB ( cùng \(\perp\) Ax)

Xét ΔNAE vuông tại N và ΔCAD vuông tại C, có

\(\widehat{NAE}\) = \(\widehat{CAD}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{CAx}\))

→ΔNAE đồng dạng ΔCAD (gn)

→\(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{ADC}\) (2 góc tương ứng)

mà \(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{BAE}\) ( 2goc1 so le trong của eN song song AB)

→\(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{BAE}\) (cùng bằng \(\widehat{AEN}\) )

→ΔBAD cân tại B

Ta lại có ΔOAE cân tại O (OA=OE)

→\(\widehat{OAE}\) = \(\widehat{OEA}\) mà \(\widehat{BAE}\) =\(\widehat{ADC}\) (cmt)

→\(\widehat{OEA}\) = \(\widehat{ADC}\) (cùng bằng \(\widehat{OAE}\) )

mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị của OE và BD→OE song song BD

b)Xét ΔACB nội tiếp (O) có đường kính AB

→ΔACB vuông tại C có cạnh huyền AB

Xét ΔAEB nội tiếp (O) có đường kính AB

→ΔAEB vuông tại E có cạnh huyền AB

Xét ΔADB có 2 đường cao Ac và BE cắt nhau tại I

→I là trực tâm→DI là đường cao trong ΔADB→DI \(\perp\) AB