toan 8 cho (x+y)(x+z)+(y+z)(y+x)=2(z+x)(z+y) chung minh z^2=x^2+y^2/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
2 tháng 9 2016
Ta có :
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)\)
\(=x^2+xz+xy+yz+y^2+xy+zy+xz\)
\(=x^2+y^2+2\left(xz+xy+yz\right)\)
\(2\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)
\(=2\left(xz+z^2+xy+zy\right)\)
\(=2z^2+2\left(xz+xy+yz\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2\left(xz+xy+yz\right)=2z^2+2\left(xz+xy+yz\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2z^2\)
\(\Rightarrow z^2=\frac{x^2+y^2}{2}\)
Vây ...
AT
3
6 tháng 12 2017
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
Vậy \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
LT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 12 2019
Lời giải:
Từ \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=2\)
\(\Rightarrow (x+y+z)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{xy}{x+z}+\frac{xz}{x+y}+\frac{xy}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{zy}{x+y}+\frac{xz}{y+z}+\frac{zy}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{xy+zy}{x+z}+\frac{xz+yz}{x+y}+\frac{xy+xz}{y+z}=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+y+z+x=2(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=x+y+z\) (đpcm)
NM
0
NT
0
NT
0
NT
1
5 tháng 4 2020
Ta có: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
+) TH1: x + y + z = 0 => x + y = -z ; x + z = -y; y + z = -x
Do đó: \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac{x}{-x}+\frac{y}{-y}=\frac{z}{-z}=-3\)\(\ne1\)loại
+) TH2: x + y + z \(\ne0\)
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\)
<=> \(\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}=x+y+z\)
<=> \(\frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{z+x}+y+\frac{z^2}{x+y}+z=x+y+z\)
<=> \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0\)( đpcm)
HD
1
8 tháng 11 2017
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:
\(18x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{18x.\frac{2}{x}}=12\)
Chứng minh tương tự, ta có
\(18y+\frac{2}{y}\ge12\)
\(18z+\frac{2}{z}\ge12\)
Từ đó suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge36\)(*)
Lại có \(x+y+z\le1\Rightarrow-\left(x+y+z\right)\ge-1\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(18\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(x+y+z\right)\ge36-1\)
\(\Leftrightarrow17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)
Vậy \(17\left(x+y+z\right)+2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge35\)với \(x+y+z\le1\)
Ta có :
\(\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)+\left(y+x\right)\)
\(=x^2+xz+xy+yz+y^2+xy+zy+xz\)
\(=x^2+y^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(2\left(x+z\right)\left(z+y\right)\)
\(=2\left(xz+z^2+xy+zy\right)\)
\(=2z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2\left(xy+yz+zx\right)=2z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2z^2\)
\(\Rightarrow z^2=\frac{x^2+y^2}{2}\)