Question

[Nguyễn Thảo Hân]

Cho 2014 số hữu tỉ, trong đó tích của ba số bất kỳ nào cũng là số âm . Chứng minh:

a, Tích của 2014 số đó là dương

b, Tất cả 2014 số đó đều âm

Answer 1

[Nguyễn Thị Anh]

a, Giả sử 2014 số hữu tỉ đó là ${\mathrm{a1}}^{},{\mathrm{a2}}^{},...,{\mathrm{a2014}}^{}$
Ta có ${\mathrm{a1}}^{}{\mathrm{a2}}^{}{\mathrm{a3}}^{},{\mathrm{a4}}^{}{\mathrm{a5}}^{}{\mathrm{a6}}^{},...,a2011$ là số âm, nên tích ${\mathrm{a1}}^{}{\mathrm{a2}}^{}...{\mathrm{a2013}}^{}$ âm.
Nếu a₂₀₁₄ dương, theo giả thiết thì ${\mathrm{a2012}}^{}{\mathrm{a2013}}^{}{a}_{2014}$ âm nên không mất tính tổng quát, giả sử ${\mathrm{a2013}}^{}$ dương còn ${\mathrm{a2012}}^{}$ âm.
Cũng lại có ${\mathrm{a2011}}^{}{\mathrm{a2012}}^{}{\mathrm{a2013}}^{}$âm suy ra ${\mathrm{a2011}}^{}$ dương.
Vậy ${\mathrm{a2014}}^{}$ âm nên tích 2014 số hữu tỉ là số dương.

b, Do trong 2014 số hữu tỉ luôn chọn được 2013 số, 2013 số này chia thành các nhóm gồm 3 số, trong đó tích ba số là số âm nên tích của 2013 số là số âm, mà tích của 2014 số dương nên số còn lại âm.
Như vậy nếu ta lấy 2013 số bất kì trong 2014 số thì số còn lại luôn là một số âm. 
Ta suy ra 2014 số hữu tỉ đó đều là số âm.