Question

[Nguyễn Hồng Anh]

Xét a, b, c là các số thực thuộc đoạn \(\left[1;2\right]\) và thỏa mãn \(a+b+c\le4\). Chứng minh rằng :

                        \(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}>\frac{2}{3}\)

Answer 1

[Mai Nguyên Khang]

Từ giả thiết ta có : \(\begin{cases}\left(b-1\right)\left(c-2\right)\le0\\\left(b-2\right)\left(c-1\right)\le0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}bc+2\le2b+c\\bc+2\le b+2c\end{cases}\) \(\Leftrightarrow2\left(bc+2\right)\le3\left(b+c\right)\le3\left(4-a\right)\)

Do đó \(\frac{a^2}{bc+2}\ge\frac{2}{3}.\frac{a^2}{4-a}\), đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=0,b=c=2\)

Tương tự  : \(\frac{b^2}{ac+2}\ge\frac{2}{3}.\frac{b^2}{4-b}\) và \(\frac{c^2}{ab+2}\ge\frac{2}{3}.\frac{c^2}{4-c}\)

Suy ra \(\frac{a^2}{bc+2}+\frac{b^2}{ac+2}+\frac{c^2}{ab+2}>\frac{2}{3}\left(\frac{a^2}{4-a}+\frac{b^2}{4-b}+\frac{c^2}{4-c}\right)\)  (*) (vì không tồn tại a,b,c để đẳng thức xảy ra)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{4-t},t\in\left[1;2\right]\)

Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t\left(8-t\right)}{\left(4-t\right)^2}>0\)  mọi \(t\in\left[1;2\right]\) nên hàm số đồng biến trên \(\left[1;2\right]\)

Suy ra \(f\left(t\right)\ge f\left(1\right)=\frac{1}{3}\) với mọi \(t\in\left[1;2\right]\)

Thay t bởi a, b, c vào vế phải của (*) ta được :

\(P=\frac{a^2}{bc+2}+\frac{b^2}{ac+2}+\frac{c^2}{ab+2}>\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\)

Vậy \(P>\frac{2}{3}\)