Tìm nguyên hàm hàm số lượng giác sau :
\(I=\int xe^{ax}\cos bxdx\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
18 tháng 3 2016
Đầu tiên ta biến đổi đồng nhất biểu thức dưới dấu nguyên hàm nhờ các công thức biến đổi tích thành tổng. Ta có :
\(\left(\cos x\cos2x\right)\cos5x=\frac{1}{2}\left[\cos\left(-x\right)+\cos3x\right]\cos5x\)
\(=\frac{1}{2}\cos x\cos5x+\frac{1}{2}\cos3x\cos5x\)
\(=\frac{1}{4}\left[\cos\left(-4x\right)+\cos6x\right]+\frac{1}{4}\left[\cos\left(-2x\right)+\cos8x\right]\)
\(=\frac{1}{4}\cos2x+\frac{1}{4}\cos4x+\frac{1}{4}\cos6x+\frac{1}{4}\cos8x\)
Như vậy :
\(I=\frac{1}{4}\int\cos2xdx+\frac{1}{4}\int\cos4xdx+\frac{1}{4}\int\cos6xdx+\frac{1}{4}\int\cos8xdx\)
\(=\frac{1}{8}\sin2x+\frac{1}{16}\sin4x+\frac{1}{24}\sin6x+\frac{1}{32}\sin8x+C\)
23 tháng 1 2016
Biến đổi :
\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :
\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)
Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)
Do đó,
\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
1.
\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)
Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)
\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)
\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)
\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
2.
\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)
\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)
\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)
TA
1
23 tháng 1 2016
Ta biến đổi f(x) về dạng :
\(f\left(x\right)=\frac{\sin x.\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-1=\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}-1\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx-\int dx=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx-x\left(1\right)\)
Để tính \(J=\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx\)
Ta có \(\int\frac{dx}{\cos x.\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}dx=\sqrt{2}\int\frac{1}{\cos x.\left(\cos x-\sin x\right)}dx=\sqrt{2}\int\frac{1}{\left(1-\tan x\right)}.\frac{1}{\cos^2x}dx\)
\(=-\sqrt{2}\int\frac{d\left(1-\tan x\right)}{1-\tan x}=\sqrt{2}\ln\left|1-\tan x\right|+C\)
30 tháng 1 2016
a1sinx+b1cosx=A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx-b2sinx) roi the vo ,do la dung dong nhat thuc
TA
20 tháng 1 2016
Ta thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi
\(a_1\sin x+b_1\cos x+c_1=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right)+B\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)+C}{_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=A\int dx+B\int\frac{\left(a_2\cos_{ }x-b_2\sin x_{ }\right)dx}{_{ }a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
\(=Ax+B\ln\left|a_2\sin x+b_2\cos x+c_2\right|+C\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
Trong đó :
\(\int\frac{dx}{a_2\sin x+b_2\cos x+c_2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
\(\int sin^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)dx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}sinx+C\)
\(\int cos^23xdx=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos6x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}sin6x+C\)
\(\int4cos^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(2+2cosx\right)dx=2x+2sinx+C\)
23 tháng 1 2016
\(I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{2\sin\frac{x+\alpha}{2}.\cos\frac{x+\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{dx}{2\tan\frac{x+\alpha}{2}.\cos^2\frac{x+\alpha}{2}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int\frac{d\left(\tan\frac{x+\alpha}{2}\right)}{\tan\frac{x+\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln\left|\tan\frac{x+\alpha}{2}\right|+C\)
23 tháng 1 2016
Biến đổi :
\(\frac{8\cos x}{3\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos x^2}=\frac{8\cos x}{\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)^2}\)
Giả sử :
\(8\cos x=a\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)+b\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)=\left(a\sqrt{3}-b\right)\sin x+\left(a+b\sqrt{3}\right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}a\sqrt{3}-b=0\\a+b\sqrt{3}=8\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\b=2\sqrt{3}\end{cases}\)
Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)\right)}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}\)
Trong đó :
\(F\left(x\right)=\int\frac{2dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}+C\)
Đặt \(u=x,dv=e^{ax}\cos bxdx\)
khi đó \(du=dx,v=\int e^{ax}\cos bxdx\)
Sau hai lần tìm nguyên hàm liên tiếp, ta thu được
\(v\left(x\right)=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)
Do đó :
\(I=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{1}{a^2+b^2}\int e^{ax}\left(a\cos bx+b\sin bx\right)dx\)
\(=xe^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}-\frac{a}{a^2+b^2}\int e^{ax}\cos bxdx-\frac{b}{a^2+b^2}\int e^{ax}\sin bxdx\)
Tích phân thứ nhất ở vế phải đã được tính (chính là v(x). Tích phân thứ hai được tính hoàn toàn tương tự
\(\int e^{ax}\sin bxdx=e^{ax}\frac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\)
Từ các tính toán trên suy ra :
\(I=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left[\left(x-\frac{a}{a^2+b^2}\right)\left(a\cos bx+b\sin bx\right)-\frac{b}{a^2+b^2}\left(a\sin bx+b\cos bx\right)\right]+C\)