Chứng minh rằng tồn tại số:
19781978.......1978197800.....00 chia hết cho 2017
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LP
3
6 tháng 1 2016
Xét 2018 số: 2016; 20162016; 201620162016;................; 20162016.........2016 (1)
2018 số 2016
Có 2018 số, mà chỉ có 2017 trường hợp về số dư trong phép chia cho 2017 nên theo nguyên lý Đi rích lê thì có ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2017
Gọi 2 số đó là 20162016..........2016 và 20162016................2016 (1 <= m < n <= 2018)
m chữ số 2016 n chữ số 2016
Xét hiệu:
20162016............2016 - 20162016........2016 = 20162016.........2016.000000....0000
n chữ số 2016 m chữ số 2006 n - m cs 2016 4m chữ số 0
= 20162016........2016.104m chia hết cho 2017
Mà ƯCLN(104m,2017) = 1
=> 20162016.........2016 chia hết cho 2017
n - m cs 2016
Rõ ràng 20162016.......2016 là 1 số thuộc dãy (1)
n - m cs 2016
Vậy tồn tại 1 số gồm toàn cs 2016 chia hết cho 2017
MN
0
VN
0
VN
0
DT
1
TN
23 tháng 12 2015
nếu lấy A=2.3.4...2015.2016.2017, thì A chia hết cho 2,3,...2015,2016,2017
và dãy 2015 só bắt đầu từ A+2 đều là hợp số :
A+2;A+3;...;A+2015;A+2015;A+2017
bởi vì A+2 chia hết cho 2
A+3 chia hết cho 3
.......
A+2016 chia hết 2016
A+2017 chia hết 2017 ( ĐPCM)
tick nhé
DA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2021
Xét bộ gồm 2016 số: \(2^1;2^2;...;2^{2016}\)
Do 2017 nguyên tố đồng thời \(2^k\) là lũy thừa của 1 số nguyên tố khác 2017 nên \(2^k\) ko chia hết 2017 với mọi k
Do đó tất cả các số trong bộ số nói trên đều ko chia hết 2017
- Nếu các số trong dãy trên chia 2017 có số dư đôi một khác nhau \(\Rightarrow\) có 2016 số dư \(\Rightarrow\) có đúng 1 số chia 2017 dư 1, giả sử đó là \(2^n\) thì \(2^n-1⋮2017\)
- Nếu tồn tại 2 số trong 2016 số trên có cùng số dư khi chia 2017 là \(2^i\) và \(2^j\) với \(1\le i< j\le2016\Rightarrow1\le j-i< 2016\)
\(\Rightarrow2^j-2^i⋮2017\)
\(\Rightarrow2^i\left(2^{j-i}-1\right)⋮2017\)
\(\Rightarrow2^{j-i}-1⋮2017\) (do \(2^i\) ko chia hết 2017)
\(\Rightarrow n=j-i\) thỏa mãn yêu cầu
VN
0
18 tháng 6 2016
a) Xét 2017 số: 2015;20152015;...
Khi chia số hạng của dãy cho 2016 thì sẽ có hai phép chia có cùng số dư.Giả sử 2 số đó là: a= 201520152015..2015(m số 2015) b= 201520152015...2015(n số 2015) (với 1=< n<m=< 2017)
=> Hiệu của a và b chia hết cho 2016 hay:
a-b=20152015...2015000chia hết cho 2016 (đpcm)
10 tháng 2 2018
Tham khảo bài này :
cách 1:
xét 3^k.
chọn k từ 1 đến 999 ta được dãy số
3; 3² ; 3³;...; 3^999
999 số trên khi chia cho 1000 sẽ được 999 số dư
(0,1...999)
xét 2 trh:
trh 1: số dư của các số trong dãy đôi một khác nhau
=> tồn tại một số trong dãy chia 1000 dư 1
=> 3^a -1 chia hết 1000
=> đpcm
trh2: số dư của các số trong dãy không khác nhau đôi một
=> sẽ có it nhất 2 số đồng dư
2 số đó là: 3^m và 3ⁿ (1≤m<n≤999)
=> hiệu của 2 số này chia hết cho 1000
=> 3ⁿ - 3^m = h.1000
mà: 3ⁿ - 3^m = 3^m.(3^(n-m) -1)
lại có: 3^m không chia hết cho 1000
=> 3^(n-m) - 1 chia hết cho 1000
mà 1≤m<n≤999 => 0 ≤ n - m ≤ 999
=> đpcm
vậy tồn tại số k thuộc N sao cho 3^k-1 chia hết 1000
.......... .......
cách 2:
xét k= 2n (n chẵn)
A= 3^(2n) -1
A= (10-1)^n -1
khai triển nhị thức ta đc:
A= 10ⁿ - 1Cn.10^(n-1) + 2Cn.10^(n-2) +...+ (n-2)Cn.10^2 - (n-1)Cn.10 +1 -1
A= 1000.[10^(n-2) -.....(n-3)Cn] + 100.n.(n+1)\2 - 10n
lấy n= 100m
=>B= n.(n+1)\2.100 - 10n
=>B= 1000.(50.101m -m)
=> A chia hết 1000 khi k= 200m
xét các số:1978;19781978;...;1978...1978(2018 số 1978)
trong 2018 số đã cho sẽ có 2 số chia 2017 cùng số dư(theo nguyên lý Direchlet)
gọi 2 số đó là 1978..1978(n số 1978) và 1978..1978(m số 1978)
1978...1978-1978....1978=1978...197800....0(m-n số 0)
=>1978...1978.100...0(m-n số 0) chia hết cho 2017
=>1978..1978 chia hết cho 2017
=>1978...1978000....0 chia hết cho 2017
=>đpcm