K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

DD
4 tháng 7 2021

\(x^2+y^2+\frac{8xy}{x+y}=16\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)+8xy-16\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y-4\right)+4x^2+4y^2+8xy-16\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(x+y-4\right)+4\left(x+y\right)^2-16\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-4\right)\left(x^2+y^2+4x+4y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-4=0\)(vì \(x^2+y^2+4x+4y>0\))

\(\Leftrightarrow y=4-x\).

\(Q=x^2-2x+4y+100=x^2-2x+4\left(4-x\right)+100\)

\(=x^2-6x+116=\left(x-3\right)^2+107\ge107\)

Dấu \(=\)khi \(x=3\Rightarrow y=1\).

NV
12 tháng 8 2021

\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)

\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)

\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)

\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)

\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)

20 tháng 10 2018

\(5x^2+8xy+5y^2=36\)

\(\Rightarrow5\left(x+y\right)^2-2xy=36\)

\(\Rightarrow-2xy=36-5\left(x+y\right)^2\)

Ta lại có \(M=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2+36-5\left(x+y\right)^2=36-4\left(x+y\right)^2\)

Mà \(-4\left(x+y\right)^2\Leftarrow0\)với mọi \(x;y\)nên \(M=36-4\left(x+y\right)^2\Leftarrow36\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=-y\)

25 tháng 3 2021

xin nhá xin nhá =))

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và giả thiết x+y=1 ta có :

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left[2\left(x+y\right)+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\right]^2}{2}\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=1/2

Vậy ...

27 tháng 3 2020

Với y = 0 ta có: \(x^2=\frac{1}{2}\)=> M = 1/2 (1)

Với y khác 0

Ta có: \(M=x^2-xy+y^2=\frac{x^2-xy+y^2}{2x^2-xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}\)

Đặt: \(\frac{x}{y}=t\)

Ta có: \(M=\frac{t^2-t+1}{2t^2-t+1}\Leftrightarrow\left(2M-1\right)t^2+\left(1-M\right)t+M-1=0\)(1)

+) Nếu 2M - 1 = 0 <=> M = 1/2 (2) 

khi đó: t = 1

+) Nếu M khác 1/2

(1) có \(\Delta=\left(1-M\right)^2-4\left(2M-1\right)\left(M-1\right)=-7M+10M-3\)

Để (1) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)<=> \(\frac{3}{7}\le M\le1\)(3)

Từ (1); (2); (3) ta có GTNN của M = 3/7 

Dấu "=" xảy ra <=> t = 2 hay \(\frac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y\)

Thay vào \(2x^2-xy+y^2=1.\) ta có: \(8y^2-2y^2+y^2=1.\)

<=> \(y=\pm\frac{1}{\sqrt{7}}\)

Với \(y=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{7}}\)

Với \(y=\frac{-1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)

Kết luận vậy min M = 1 tại ( x ; y ) \(\in\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}}\right);\left(\frac{-2}{\sqrt{7}};\frac{-1}{\sqrt{7}}\right)\right\}\)

30 tháng 5 2020

\(x\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+y^2=z\left(x+y\right)\)

\(\frac{x^3}{z^2+x^2}=x-\frac{z^2x}{z^2+x^2}\ge x-\frac{z^2x}{2zx}=x-\frac{z}{2}\)

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}=y-\frac{yz^2}{y^2+z^2}\ge y-\frac{yz^2}{2yz}=y-\frac{z}{2}\)

\(\frac{x^2+y^2+4}{x+y}=\frac{z\left(x+y\right)+4}{x+y}=z-x-y+\frac{4}{x+y}+x+y\ge z-x-y+4\)

Cộng lại ra minP=4, dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)