Question

[Linh Mai]

Cho hình bình hành ABCD (AC>BD),hình chiếu vuông góc của C lên AB,AD lần lượt là E và F

Chúng minh:1,CE.CD=CB.CF và △ABC đồng dạng △FCE

2,AB.AE+AD.AF=AC²

Answer 1

[Lê Thị Thục Hiền]

1) Có \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

\(\Rightarrow180^0-\widehat{ABC}=180^0-\widehat{ADC}\) \(\Leftrightarrow\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)

Xét \(\Delta BCE\) và \(\Delta DCF\) có:

\(\Leftrightarrow\widehat{EBC}=\widehat{CDF}\)

\(\widehat{E}=\widehat{F}=90^0\)

nên \(\Delta BCE\sim\Delta DCF\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{CE}{CF}=\dfrac{CB}{CD}\) \(\Leftrightarrow CE.CD=CF.CB\)

Có \(\widehat{EAF}+\widehat{ECF}=360^0-\widehat{AEC}-\widehat{AFC}=360^0-90^0-90^0=180^0\)

mà \(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^0\) (hai góc so le trong do BC//AD)

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=\widehat{ABC}\) (1)

mà \(CE.CD=CB.CF\) (cm trên)\(\Leftrightarrow CE.AB=CB.CF\) \(\Leftrightarrow\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{CF}{AB}\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta FCE\left(c.g.c\right)\)

2. Kẻ \(DK\perp AC\) tại K

Dễ chững minh được \(\Delta ADK\sim ACF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AK}{AF}\Leftrightarrow AD.AF=AC.AK\) (*)

Dễ chứng minh được \(\Delta CDK\sim\Delta ACE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{CK}{AE}=\dfrac{CD}{AC}\Leftrightarrow CK.AC=AE.CD\) mà DC=AB

\(\Rightarrow AB.AE=CK.AC\)  (3*)

Từ (*);(2*) cộng vế với vế \(\Rightarrow AB.AE+AD.AF=AC.CK+AC.AK=AC\left(CK+AK\right)\)

\(\Rightarrow AB.AE+AD.AF=AC^2\)

Vậy...