chung minh x^4-x+\(\frac{1}{2}\)>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GD
1
23 tháng 10 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Cần chỉ ra \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)
Ta có : \(x+y\le1\)
=> \(\left(x+y\right)^2\le1\)
=> \(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge1\)( nghịch đảo )
=> \(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( nhân 4 vào cả hai vế )
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2
NT
3
17 tháng 10 2014
DK: x>=0
Ta co VT=(x2-x+1/4) +(x-\(\sqrt{x}\) +1/4)
=(x-1/2)2+(\(\sqrt{x}\)--1/2)2 >=0 voi x>=0
den day co 2 cach de giai tiep
1. ban hay xet X>=1/2==> DPCM va 1/2>x>=0 ==>DPCM
2. giai phuong trinh tren cho VT=0 ban duoc ket qua vo nghiem nghia la vt khong co gia tri nao cua x de =0 tuc la vt>0 ==>DPCM
NT
1
16 tháng 7 2020
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta được
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=1\)(đpcm)
DV
1
27 tháng 3 2019
Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2019
BĐT Vasc cơ bản:
Cho các số dương \(abc=1\) thì:
\(\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge1\)
Chứng minh:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\) thì BĐT trở thành:
\(\sum\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge1\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2xz+z^2xy+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
Nhân chéo và thực hiện khai triển:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Sau đó rút gọn ta được:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên chính là dạng \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Vậy BĐT đã được chứng minh xong
K
1
7 tháng 10 2017
a/ x2 + xy + y2 + 1
= [x2 + 2.x.\(\dfrac{y}{2}\) + (\(\dfrac{y}{2}\) )2 ] + \(\dfrac{3y^2}{4}\) + 1
= ( x + \(\dfrac{y}{2}\) )2 + \(\dfrac{3y^2}{4}\) + 1
Vì \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\) \(\ge\) 0 với mọi x;y
và \(\dfrac{3y^2}{4}\ge0\) với mọi x;y
=> \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}\ge0\) với mọi x;y
=> \(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0\)
C/m : \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Ta có : \(x^4-x+\frac{1}{2}\)
\(=\left(x^2\right)^2-x+\sqrt{\frac{1}{2}}^2\)
\(=x^2-2.x.\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}^2\)
\(=\left(x+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2>0\)
( Áp dụng hằng đẳng thức )
Vậy \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)( đpcm)