Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là giao 3 đường phân giác của tam giác AHB, AHC. CMr: BIKC là tứ giác nội tiếp
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tự vẽ hình lấy chứ hình nó khó vẽ trên này lắm thông cảm
a) P và Q là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác đồng dạng AHB và CHA nên
\(\frac{HP}{HQ}=\frac{AB}{AC}\)nên \(\Delta HPQ~\Delta ABC\left(c-g-c\right)\)
b) Từ câu a suy ra \(\widehat{HPQ}=\widehat{C}\)mà \(\widehat{C}=\widehat{A_1}\)
Nên \(\widehat{HPQ}=\widehat{A_1}\)( 1 )
Tứ giác HPKQ có \(\widehat{PHQ}=\widehat{PKQ}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp, suy ra \(\widehat{HPQ}=\widehat{HKP}\)( 2 )
Từ (1) VÀ (2) suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{HKP}\)do đó KP // AB. Chứng minh tương tự, KQ // AC.
c) Ta có : \(\widehat{C}=\widehat{HKP}=\widehat{MKP}\)tự chứng minh \(\widehat{MKP}=\widehat{M_1}\)(sử dụng kết quả ở câu b).
d) Ta có : \(\widehat{A_1}=\widehat{M_1}\left(=\widehat{C}\right)\)nên KM = KA. Tương tự KP =KA. Do đó năm điểm A, M, P, Q, N thuộc đường tròn (K; KA).
e) Từ câu a suy ra \(\widehat{HQP}=\widehat{C}\)nên HQEC là tứ giác nội tiếp, do đó \(\widehat{QEA}=\widehat{QHC}=45^o\)
Tam giác ADE có : \(\widehat{E}=45^o\)
\(\Rightarrow\) ADE là tam giác vuông cân.
à câu cuối còn một cách nữa :)
Chứng minh \(BP\perp AQ\)tương tự ta cũng chứng minh \(CQ\perp AP\)
\(\Rightarrow\)\(AO\perp PQ\)(O là giao điểm của BP và CQ). Tam giác ADE có AO là tia phân giác góc A và \(AO\perp DE\)
\(\Rightarrow\)Tam giác AED vuông cân ( đpcm )
Hình tự vẽ
Xét tam giác HPB và HQC
góc B=C, HB=HC, BHP=CHQ
=> PB=QC
=>AP=AQ=> tam giác APQ vuông cân tại A
a)\(\Delta AEC\)có góc ngoài là AEB=góc KAC+ góc ACE
Mà góc BAE = góc KAH; góc ACB = góc BAH => góc AEB = góc BAE
\(\Rightarrow\Delta ABE\)cân ở B và có BJ là phân giác
=>BJ vuông góc với AE
Tương tự có CJ vuông góc AD => AI vuông góc JK (I là trực tâm \(\Delta AJK\))
b)Dùng tính chất các phân giác ta có: góc BAI= góc \(\frac{BAC}{2}=\)\(\frac{\text{(góc B+góc C)}}{2}\)
=>Góc EAI=\(\frac{\text{(góc B+góc C)}}{2}\text{-góc EAI}\)\(\frac{\text{(góc B+góc C)}}{2}\text{- góc C}=\frac{\text{góc B}}{2}\)
Nhưng ta lại có góc EAI=JAI=EKJ (Cùng phụ góc AJK)
=>Góc EKJ= góc JBC(= góc B/2)
Lại có góc EKJ+góc JKC=180 độ (kề bù)
=>góc JBC+góc JKC=180 độ nên tứ giác BJKC nội típ
Gọi giao điểm phân giác ^B và ^C là O => AO là phân giác ^BAC => ^BAO=^CAO=1/2^BAC
Phân giác ^B cắt phân giác ^HAC tại N; Phân giác ^C cắt phân giác ^BAH tại M.
Ta có: ^ABC=^HAC (Cùng phụ ^BAH) => 1/2 ^ABC= 1/2 ^HAC => ^ABN=^NAC
Mà ^NAC+^BAN=900 => ^ABN+^BAN=900 => \(\Delta\)ANB vuông tại N => BN \(\perp\)AK hay IN\(\perp\)AK
Tương tự: KM \(\perp\)AI
Lại có: IN giao KM tại O => O là trực tâm của \(\Delta\)AIK => AO\(\perp\)IK
=> ^IKM = ^IAO (Cùng phụ ^AIK). MÀ ^IAO = ^BAO - ^BAI = 1/2 (^BAC - ^BAH)
Do ^BAH=^ACB => ^IAO = 1/2 (^BAC-^ACB) = >^IKM = 1/2. (^BAC - ^ACB) (1)
Xét \(\Delta\)ABC: ^BAC=900 => ^ABC = 900 - ^ACB = ^BAC - ^ACB
=> 1/2 ^ABC = 1/2. (^BAC - ^ACB) (2)
Từ (1) và (2) => ^IKM = 1/2 ^ABC hay ^IKM = ^IBC. Mà ^IKM + ^IKC = 1800
=> ^IBC + ^IKC = 1800 => Tứ giác BIKC nội tiếp đường tròn (đpcm).