Bài mới
Chứng minh rằng : [ xm + xn + 1 ] chia hết cho x2 + x +1. khi và chỉ khi [ mn - 2 ] chi hết cho 3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 8 2019
Đặt \(m=3k+r\)với \(0\le r\le2\) \(n=3t+s\)với \(0\le s\le2\)
\(\Rightarrow x^m+x^n+1=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1=x^{3k}+x^r-x^r+x^{3t}x^s-x^s+x^r+x^s+1\)
\(=x^r\left(x^{3k}-1\right)+x^s\left(x^{3t}-1\right)+x^r+x^s+1\)
Ta thấy : \(\left(x^{3k}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)và \(\left(x^{3t}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)
Vậy : \(\left(x^m+x^n+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)với \(0\le r;s\le2\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}r=2\\r=1\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}s=1\\s=2\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=3k+2\\m=3k+1\end{cases}}\)và\(\hept{\begin{cases}n=3t+1\\n=3t+2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\\mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(mn-2\right)⋮3\)Điều phải chứng minh
Áp dụng : \(m=7;n=2\Rightarrow mn-2=12:3\)
\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right):\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)
VP
0
\(\left(mn-2\right)⋮3\Rightarrow mn\) chia cho 3 dư 2
Đặt \(m=3k+r;n=3p+q\left(p;q;r;k\in N;r\ne q;1\le r;q\le2\right)\)
Vì m;n bình đẳng nên giả sử \(m\ge n\) \(\Rightarrow r\ge q\Rightarrow r=1;q=2\)
Ta có : \(x^m+x^n+1=x^{3k+1}+x^{3p+2}+1\)
\(=\left(x^{3k+1}-x\right)+\left(x^{3p+2}-x^2\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
\(=x\left(x^{3k}-1\right)+x^2\left(x^{3p}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
Ta thấy \(x\left(x^{3k}-1\right)+x^2\left(x^{3p}-1\right)⋮x^3-1⋮x^2+x+1\)
\(\Rightarrow\)\(x\left(x^{3k}-1\right)+x^2\left(x^{3p}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)
Hay \(x^m+x^n+1⋮x^2+x+1\)