Question

[tiểu an Phạm]

giải phương trình nghiệm nguyên \(x^2-2y\left(x-y\right)=2\left(x+1\right)\)

Answer 1

[thanh]

chuyển vế ta có:

\(x^2-2xy+2y^2-2x-1=x^2-2x\left(y+1\right)+2y^2-1\)

tinh penta ta có:

\(penta'=\left(y+1\right)^2-\left(2y^2-1\right)=-y^2+2y+2=-\left(y+1\right)^2+3\)

để pt có nghiệm nguyên thi penta' phai lon hon hoac bang 0

co penta' nho hon hoac bang 3

từ 2 điều trên ta có: 0 nho hon hoac bang penta' <3

theo penta' ta có \(x_1=y+1-\sqrt{-\left(y+1\right)^2+3}\)

\(x_2=y+1+\sqrt{-\left(y+1\right)^2+3}\)\

mà x nguyên, y nguyên nên ta có: 

\(\sqrt{-\left(y+1\right)^2+3}thuocZ\) =>\(-\left(y+1\right)^2+3\) la SCP

ma 0 nho hon hoac bang \(-\left(y+1\right)^2+3\) <3

=>\(-\left(y+1\right)^2+3\) =0 hoặc =1

, nếu trường hợp nào cho cả 2 nghiệm x,y nguyên thì chọn

Answer 2

[Pham Quoc Cuong]

PT\(\Leftrightarrow x^2-2xy+2y^2=2x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+y^2-2x=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(y-x\right)+1+y^2-2y+1=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)

Do x,y nguyên => Các hạng tử là số CP

Ta có các trường hợp 

(y-1)2	0	4
(x-y-1)2	4	0

+) (y-1)²=0 

=> y= 1 

=> x= 0 hoặc 4

+) (y-1)²=4

=> y= -1 hoặc 3

=> (x;y)= (2;-1);(4;3)