Chứng minh rằng nếu \(x^2+y^2=1\)thì \(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
15 tháng 1 2018
C.hóa \(x+y=1\) và dùng C-S:
\(VT^2\le\frac{2x}{\left(y+1\right)^2}+\frac{2y}{\left(x+1\right)^2}\le\frac{8}{9}=VP^2\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{x}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y}{\left(2-y\right)^2}\le\frac{4}{9}\left(1\right)\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{x}{\left(2-x\right)^2}\le\frac{20}{27}x-\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(2x-1\right)^2\left(5x-16\right)}{27\left(x-2\right)^2}\le0\) *Đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT_{\left(1\right)}\le\frac{20}{27}\left(x+y\right)-\frac{4}{27}\cdot2=\frac{4}{9}=VP_{\left(1\right)}\)
"=" khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 3 2021
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/voi-0-xy-dfrac12-chung-minhdfracsqrtxy1dfracsqrtyx1-dfrac2sqrt23.461470553384
H
6 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
\(\left(x\sqrt{1+y}+y\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1+y+1+x\right)=x+y+2=2+\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\ge\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
TS
1
DT
26 tháng 12 2017
Ta có (x-y)^2>=0
suy ra x^2+y^2>=2xy
Suy ra 2(x^2+y^2)>=(x+y)^2
Suy ra 2>=(x+y)^2
suy ra ĐPCM
ML
12 tháng 5 2016
\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)
\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)
\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)
\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)
Bất đẳng thức trên đúng vì :
\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)
Vậy \(A\ge2\)
Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)
ML
12 tháng 5 2016
Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)
\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)
\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)
\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)
BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)
Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)
Làm tương tự với vế còn lại.
Ta có: \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)(bđt cosi)
<=> 1 \(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) <=> \(\left(x+y\right)^2\le2\) <=> \(-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y
\(\left(x-y\right)^2>=0\)
\(x^2+y^2>=2xy\)
\(2\left(x^2+y^2\right)>=\left(x+y\right)^2\)
\(\left(x+y\right)^2< =2\)
\(x+y< =\sqrt{2}\left(1\right)\)
theo tính chất bđt của một số thực bk ta đc
\(-\sqrt{2}< =x+y\left(2\right)\)
từ 1 và 2 <=> ĐPCM