Question

[Công Tùng]

Cho a,b là số nguyên khác 0.Chứng minh rằng a/b+b/a >_ 2

Answer 1

[Đặng Thu Phương]

* Trường hợp 1 : 

Nếu a=b 

=> \(\frac{a}{a}\)+ \(\frac{b}{b}\)= 1 + 1 = 2 ^{( 1)}

* Trường hợp 2 :

  Nếu a < b , đặt b = a+ m

Ta có : M = \(\frac{a}{a+m}\) + \(\frac{a+m}{a}\)= \(\frac{a}{a+m}\)+ \(\frac{m}{a}\)+ \(\frac{a}{a}\)

                                                           = \(\frac{a}{a+m}\)+ \(\frac{m}{a}\)+ 1 > \(\frac{a}{a+m}\)+ \(\frac{m}{a+m}\)+ 1

                                                      => M > \(\frac{a+m}{a+m}\)+ 1

                                                      => M > 1 + 1 

                                                       => M > 2 ^{( 2)} 

* Trường hợp 3 :

Nếu a > b , đặt a = b + n

Ta có : M = \(\frac{b+n}{b}\)+ \(\frac{b}{b+n}\)= \(\frac{b}{b}\)+ \(\frac{n}{b}\)+ \(\frac{b}{b+n}\)

                                                        = 1 + \(\frac{n}{b}\)+ \(\frac{b}{b+n}\)> 1 + \(\frac{n}{b+n}\)+ \(\frac{b}{b+n}\)

                                                       => M > 1 + \(\frac{n+b}{b+n}\)

                                                        => M > 1+1

                                                        => M > 2 ⁽³⁾

Từ (1) ; (2) ; (3) 

=> M \(\ge\)2 

Vậy M \(\ge\)2