Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
\(^{a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2ab+2ac+2bc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
0
PT
1
G
30 tháng 1 2019
Ta chứng minh 1 bđt phụ:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (với a;b;c>0)
Thật vậy,ta có: \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Mà: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\ge2\left(Cauchy\right)\)nên ta có đpcm
Vậy bđt đc chứng minh
Áp dụng:
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge9\)
Dấu bằng khi a=b=c=1/3
21 tháng 8 2015
Lần sau em viết đề cẩn thận hơn nhé, dấu lớn hơn đúng ra phải là lớn hơn hoặc bằng và không có ẩn d.
Bài này sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz thôi (Nếu bạn chưa quen, thì xem lại phát biểu và chứng minh ở đây: http://olm.vn/hoi-dap/question/174274.html ).
Ta có \(\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ca}+\frac{c^2}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a^2+2bc\right)+\left(b^2+2ca\right)+\left(c^2+2ab\right)}=1.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c.\)
RD
18 tháng 12 2018
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác
\(\Rightarrow a^2=a.a< a\left(b+c\right)=ab+ac\)
TT\(\Rightarrow b^2< ba+bc;c^2< cb+ca\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
Hay \(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\left(\text{đ}pcm\right)\)
CH
4
11 tháng 6 2015
\(\left(a+b+c\right)^2=a\left(a+b+c\right)+b\left(a+b+c\right)+c\left(a+b+c\right)\)
\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
11 tháng 6 2015
Đặt A = a + b
Biến đổi vế trái ta có
:\(\left(A+c\right)^2=A^2+2Ac+c^2\)=\(\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)c+c^2=a^2+b^2+2ab+2ac+2bc+c^2\)
Vậy vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh