chứng minh rằng với mọi số nguyên thì \(n^5+1999n+2017\) Không phải là số chính phương
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
KS
1
HC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 11 2018
Lời giải:
Sửa đề thành \(n\in\mathbb{N}\), vì nếu $n$ nguyên âm thì biểu thức không nguyên.
Đặt \(A=n^5+1999n+2017=n^5-n+2000n+2017\)
\(=n(n^4-1)+2000n+2017\)
\(=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2017\)
--------------
Ta biết đến tính chất rất quen thuộc là một số chính phương chia $5$ thì dư $0,1$ hoặc $4$
Nếu \(n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n\equiv 0\pmod 5\) (do $5$ là snt)
\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)
Nếu \(n^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n^2-1\equiv 0\pmod 5\)
\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)
Nếu \(n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)
\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)
Tóm lại \(n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n\in\mathbb{N}\)
\(\Rightarrow A=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2015+2\) chia $5$ dư $2$. Do đó $A$ không thể là scp vì scp chia $5$ dư $0,1$ hoặc $4$
Ta có đpcm.
TD
0
TD
0
HN
1
14 tháng 8 2018
Ta thấy: \(n^2-n+2=n^2-\frac{1}{2}.2.n+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\)
Vì (n-1/2)^2 là số chính phương mà 7/4 ko là số chính phương nên x^2 - n + 2 không phải là số chính phương với mọi n >= 2
TQ
0
15 tháng 1 2022
\(B=\left(n-1\right)\left(n+5\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+16\)
\(=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\)
\(=\left(n^2+4n\right)^2-2\left(n^2+4n\right)-15+16\)
\(=\left(n^2+4n-1\right)^2\) là số chính phương
15 tháng 1 2022
\(B=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left[\left(n-1\right)\left(n+5\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+3\right)\right]+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n+3\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)\left(n^2+4n-5+8\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5\right)^2+8\left(n^2+4n-5\right)+16\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-5+4\right)^2\\ \Rightarrow B=\left(n^2+4n-1\right)^2\)
Vậy B là số chính phương với mọi số nguyên n
Ta có n5 +1999n +2017 = n5 - n+2000n + 2015 +2 ( n E Z )
Ta thấy: n5 +1999n +2017 = n5 - n+2000n + 2015 +2 ( n E Z ) chia cho 5 dư 2
vì không có số chính phương nào chia 5 dư 2
Vậy n5 +1999n +2017 ( n E Z ) không phải là số chính phương