Cho \(0\le a;b;c\le1\).Tìm GTLN của \(P=a+b^{2019}+c^{2020}-ab-bc-ca\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 5 2020
\(0\le a\le1\Rightarrow a\left(1-a\right)\ge0\Rightarrow a^2\le a\)
Tương tự: \(b\left(1-b\right)\ge0\Rightarrow b^2\le b\) ; \(c\left(1-c\right)\ge0\Rightarrow c^2\le c\)
Cộng vế với vế:
\(a^2+b^2+c^2\le a+b+c=2\)
\(A_{max}=2\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị
25 tháng 5 2021
Áp dụng BĐT cosi:
\(a\sqrt{1-b^2}=\sqrt{a^2\left(1-b^2\right)}\le\dfrac{a^2+1-b^2}{2}\)
Tương tự cx có: \(b\sqrt{1-c^2}\le\dfrac{b^2+1-c^2}{2}\)
\(c\sqrt{1-a^2}\le\dfrac{c^2+1-a^2}{2}\)
Cộng vế với vế \(\Rightarrow VT\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1-b^2\\b^2=1-c^2\\c^2=1-a^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
N
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 4 2021
\(a;b\ge0\Rightarrow\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}\ge0\)
Mặt khác: \(0\le a;b\le1\Rightarrow1+a\ge b+a\Rightarrow\dfrac{b}{1+a}\le\dfrac{b}{a+b}\)
Tương tự ta có: \(\dfrac{a}{1+b}\le\dfrac{a}{a+b}\)
Cộng vế: \(\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+a}\le\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}=1\) (đpcm)
8 tháng 3 2019
Từ a+b+c=6 \(\Rightarrow\)a+b=6-c
Ta có: ab+bc+ac=9\(\Leftrightarrow\)ab+c(a+b)=9
\(\Leftrightarrow\)ab=9-c(a+b)
Mà a+b=6-c (cmt)
\(\Rightarrow\)ab=9-c(6-c)
\(\Rightarrow\)ab=9-6c+c2
Ta có: (b-a)2\(\ge\)0 \(\forall\)b, c
\(\Rightarrow\)b2+a2-2ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(b+a)2-4ab\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)(a+b)2\(\ge\)4ab
Mà a+b=6-c (cmt)
ab= 9-6c+c2 (cmt)
\(\Rightarrow\)(6-c)2\(\ge\)4(9-6c+c2)
\(\Rightarrow\)36+c2-12c\(\ge\)36-24c+4c2
\(\Rightarrow\)36+c2-12c-36+24c-4c2\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)-3c2+12c\(\ge\)0
\(\Rightarrow\)3c2-12c\(\le\)0
\(\Rightarrow\)3c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\)c(c-4)\(\le\)0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}}\)hoặc\(\hept{\begin{cases}c\le0\\c-4\ge0\end{cases}}\)
*\(\hept{\begin{cases}c\ge0\\c-4\le0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}c\ge0\\c\le4\end{cases}\Leftrightarrow}0\le c\le4}\)
*
NT
0
Y
1
24 tháng 12 2019
Bạn tham khảo ở đây nhé
https://olm.vn/hoi-dap/detail/49527613309.html
24 tháng 12 2019
ở đây nữa:
https://hoc24.vn/hoi-dap/question/32718.html
PT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 4 2019
Lời giải:
Ta có:
\((a^2+ab-3a-b+2)(b^2+ab-a-b)\)
\(=[a(a+b-2)-a-b+2][b(b+a)-(a+b)]\)
\(=[a(a+b-2)-(a+b-2)][b(b+a)-(a+b)]\)
\(=(a+b-2)(a-1)(b+a)(b-1)\)
Vì \(0\leq a,b\leq \Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+b-2\leq 0\\ a-1\leq 0\\ b+a\geq 0\\ b-1\leq 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (a^2+ab-3a-b+2)(b^2+ab-a-b)=(a+b-2)(a-1)(b+a)(b-1)\leq 0\)
Ta có đpcm.
P= a+b2019-ab+c(c2019-b-a) \(\le\) a + b2019 + 1.(12019 - b - a) =a + b2019 +1 - b - a = b(b2018 - 1) +1 \(\le\)1.(12018 - 1) +1 = 1
Vậy Max P=1
đạt được khi c=b=1; 0\(\le a\le1\)