Cho đường tròn (O;R) có đường kính BC. Gọi A là điểm nằm trên đường tròn sao cho AB>AC. Trên tia AC lấy điểm P sao cho AP=AB. Đường thẳng vuông góc hạ từ P xuống BC cắt BA ở D và cắt BC ở H
a/chứng minh tứ giác ACHD nội tiếp và chỉ ra tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b/chứng minh PC.PA=PH.PD
c/PB cắt (O) tại I. chứng minh các điểm I;C;D thẳng hàng
a: Xét (O) có
ΔBAC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔBAC vuông tại A
=>PA\(\perp\)BD tại A
Xét tứ giác ACHD có \(\widehat{CHD}+\widehat{CAD}=90^0+90^0=180^0\)
nên ACHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CD
Tâm là trung điểm của CD
b: Xét ΔPHC vuông tại H và ΔPAD vuông tại A có
\(\widehat{HPC}\) chung
Do đó: ΔPHC~ΔPAD
=>\(\dfrac{PH}{PA}=\dfrac{PC}{PD}\)
=>\(PH\cdot PD=PA\cdot PC\)
c: Xét (O) có
ΔCIB nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔCIB vuông tại I
=>CI\(\perp\)BP tại I
Xét ΔBDP có
BH,PA là các đường cao
BH cắt PA tại C
Do đó: C là trực tâm của ΔBDP
=>DC\(\perp\)BP
mà CI\(\perp\)BP
và DC,CI có điểm chung là C
nên D,C,I thẳng hàng
AÁp dụng định lý nhìn hình ta thâys