Question

[Pham Trong Bach]

Cho dãy số xác định bởi $u_1=1;u_{n+1}=\frac{1}{3}\left(2u_n+\frac{n-1}{n^2+3n+2}\right);n\in \mathbb{N}*.$ Khi đó $u_{2018}$ bằng

A.  $u_{2018}=\frac{2^{2016}}{3^{2017}}+\frac{1}{2019}.$

B.  $u_{2018}=\frac{2^{2018}}{3^{2017}}+\frac{1}{2019}.$

C.  $u_{2018}=\frac{2^{2017}}{3^{2018}}+\frac{1}{2019}.$

D.  $u_{2018}=\frac{2^{2017}}{3^{2018}}+\frac{1}{2019}.$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A.

Ta có

n − 1 n 2 + 3 n + 2 = n − 1 n + 1 n + 2 = A n + 1 + B n + 2 ⇒ A + B = 1 2 A + B = − 1 ⇔ A = − 2 B = 3 .  

Lại có 3 u n + 1 = 2 u n − 2 n + 1 + 3 n + 2

⇔ 3 u n + 1 − 1 n + 2 = 2 u n − 1 n + 1 .

Đặt v n = u n − 1 n + 1 ⇒ v 1 = 1 2

và  v n = u n − 1 n + 1 →   v n

là cấp số nhân với v 1 = 1 2 ;   q = 1 3  

⇒ v n = 1 2 . 2 3 n − 1 = 3 4 . 2 3 n → u n = v n + 1 n + 1 = 3 4 . 2 3 n + 1 n + 1 = 2 n − 2 3 n − 1 + 1 n + 1 .

  ⇒ u 2018 = 2 n − 2 3 n − 1 + 1 n + 1 n = 2018 = 2 2016 3 2017 + 1 2019 .