Question

[Đào Anh Duy]

Cho đường tròn (O;R) và (o; r) tiếp xúc nhau tại A. kẻ tiếp tuyến chung BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn tại I. 1. Chúng mình góc BIC = 90° 2. Chứng minh góc OIO = 90°

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Sửa đề: góc BAC=90 độ

Xét (O) có

IB,IA là các tiếp tuyến

Do đó: IB=IA

Xét (O') có

IA,IC là các tiếp tuyến

Do đó: IA=IC

Ta có: IB=IA

IA=IC

Do đó: IB=IC

=>I là trung điểm của BC

Xét ΔABC có

AI là đường trung tuyến

\(AI=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{BAC}=90^0\)

2: Ta có: ΔACB vuông tại A

=>\(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)

Xét tứ giác OBIA có \(\widehat{OBI}+\widehat{OAI}=90^0+90^0=180^0\)

nên OBIA là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OIA}\)

Xét tứ giác O'AIC có \(\widehat{O'AI}+\widehat{O'CI}=180^0\)

nên O'AIC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{O'IA}=\widehat{O'CA}\)

Ta có: \(\widehat{OBI}+\widehat{O'CI}=180^0\)

=>\(\widehat{OBA}+\widehat{CBA}+\widehat{BCA}+\widehat{O'CA}=180^0\)

=>\(\widehat{OBA}+\widehat{O'CA}=180^0-90^0=90^0\)

=>\(\widehat{OIA}+\widehat{O'IA}=90^0\)

=>\(\widehat{OIO'}=90^0\)