Question

[Niii]

Câu 1 ; a, Rút gọn A=\(\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}-2\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2}}\)

b, cho \(\frac{a}{b+c}\frac{b}{a+c}\frac{c}{a+b}=1\) tính P=\(a^2+b^2+c^2+\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)

Câu 2 ; a, cho các số nguyên dương a,b ,c thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) CM a+b+c chia hết cho 54

b, giải pt x²+7x +14-2\(\sqrt{x-4}\)=0

Câu 3 ; cho a,b,c >0 thỏa mãn \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\) CMR abc\(\ge\) 8

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

1.

\(A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{5}-4}}{\sqrt{5}-1+2}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

b. Thôi nhìn biến đổi khủng thế này thì nhường bạn :))

2.

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng tính chẵn lẻ

\(\Rightarrow\) có ít nhất một trong 3 hiệu \(a-b\) ; \(a-c\) ; \(b-c\) là chẵn

\(\Rightarrow a+b+c\) chẵn

- Nếu a;b;c cùng số dư khi chia hết cho 3 thì \(a-b;a-c;b-c\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮27\Rightarrow a+b+c⋮27\)

Mà 27 và 2 nguyên tố cùng nhau nên \(a+b+c⋮\left(27.2=54\right)\)

- Nếu a;b;c chia 3 ra 3 loại số dư khác nhau là 0;1;2 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)

Đồng thời cả \(a-b;b-c;c-a\) đều ko chia hết cho 3

\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\)

- Nếu trong 3 số a;b;c có 2 số cùng số dư khi chia hết cho 3 và 1 số chia 3 khác số dư

\(\Rightarrow\) \(a+b+c⋮̸3\)

Trong khi đó ít nhất 1 trong 3 hiệu \(a-b;b-c;c-a\) sẽ có 1 giá trị chia hết cho 3 (do có 2 số cùng số dư khi chia 3)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) ko thỏa mãn

Vậy \(a+b+c⋮54\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

2b

Câu này đề có sai ko bạn? Trong căn là \(2\sqrt{x+4}\) thì còn có lý

Pt như nguyên mẫu được biến đổi thành:

\(\left(x^2+6x+9\right)+\left(x-4-2\sqrt{x-4}+1\right)+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{x-4}-1\right)^2+8=0\)

Hiển nhiên vô nghiệm

3.

\(\frac{a}{a+1}\ge1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\) ; \(\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân vế với vế: \(\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\ge8\)