Cho (O; R) và điểm A ở ngoài (O) với OA = 2R. Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại D, Gọi H là trung điểm của OD, đường thẳng vuông góc với OA tại H cắt (O) tại M.
a) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O).
b) Qua A vẽ cát tuyến ABC đến đường tròn (O) (B; C (O), B nằm giữa A và C). Chứng minh:
AH.AO = AB.AC = AM2 và đường thẳng MH chứa tia phân giác của BHC
c) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt...
Đọc tiếp
Cho (O; R) và điểm A ở ngoài (O) với OA = 2R. Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại D, Gọi H là trung điểm của OD, đường thẳng vuông góc với OA tại H cắt (O) tại M.
a) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O).
b) Qua A vẽ cát tuyến ABC đến đường tròn (O) (B; C (O), B nằm giữa A và C). Chứng minh:
AH.AO = AB.AC = AM2 và đường thẳng MH chứa tia phân giác của BHC
c) Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt nhau tại T. Chứng minh: ba điểm M, H, T thẳng hàng
a: H là trung điểm của OD
=>\(OH=\dfrac{OD}{2}=\dfrac{R}{2}\)
\(OH\cdot OA=\dfrac{R}{2}\cdot2R=R^2\)
Xét ΔOHM và ΔOMA có
\(\dfrac{OH}{OM}=\dfrac{OM}{OA}\)
\(\widehat{HOM}\) chung
Do đó: ΔOHM~ΔOMA
=>\(\widehat{OHM}=\widehat{OMA}\)
=>\(\widehat{OMA}=90^0\)
=>AM là tiếp tuyến của (O)
b: Xét (O) có
\(\widehat{AMB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MA và dây cung MB
\(\widehat{MCB}\) là góc nội tiếp chắn cung MB
Do đó; \(\widehat{AMB}=\widehat{MCB}\)
Xét ΔAMB và ΔACM có
\(\widehat{AMB}=\widehat{ACM}\)
\(\widehat{MAB}\) chung
Do đó: ΔAMB~ΔACM
=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}\)
=>\(AM^2=AB\cdot AC\left(1\right)\)
Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AM^2=AB\cdot AC=AH\cdot AO\)