Question

[Trần Thị Xuân Hòa]

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. M là một điểm nằm trên đường chéo BD; E,F là hình chiếu của M trên AB và AD; BF và CE cắt nhau tại I. 

a/ Chứng minh: CE=BF, CM=EF

b/ Chứng minh: Khi M thay đổi trên BD thì I luôn cách 1 điểm cố định một khoảng bằng a/2. Hãy tìm điểm cố định đó

c/ Chứng minh: Các đường thẳng: BF, CM, DE đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Dễ thấy: \(\Delta\)BME vuông cân tại E => BE = ME (1)

Xét tứ giác AEMF: ^FAE = ^AEM = ^AFM = 90⁰ => Tứ giác AEMF là hình chữ nhật => ME = AF (2)

(1); (2) => BE = AF => \(\Delta\)CBE = \(\Delta\)BAF (c.g.c) => CE = BF (đpcm)

Đồng thời: ^BCE= ^ABF. Mà ^ABF + ^CBF = 90⁰

Nên ^BCE + ^CBF = 90⁰ hay ^BCI + ^CBI = 90⁰ => CE vuông góc BF tại I => ^EBF = ^MEC (Cùng phụ ^BEC)

Xét \(\Delta\)BEF và \(\Delta\)EMC có: ^EBF = ^MEC; BE = EM; BF = EC => \(\Delta\)BEF = \(\Delta\)EMC (c.g.c)

=> EF = MC (2 canh tương ứng) (đpcm).

b) Gọi S là trung điểm cạnh BC

Xét \(\Delta\)BIC: Vuông tại I; trung tuyến IS => IS = BC/2 = a/2

=> I luôn cách S 1 khoảng không đổi bằng a/2. Ta có: S là trung điểm cạnh BC nên S cố định => ĐPCM.

c) C/m tương tự câu a: DE vuông góc CF

Do CE vuông góc BF (cmt) nên ^EIF = 90⁰ => ^IFE + ^IEF = 90⁰ hay ^CEF + ^BFE = 90⁰

Mà \(\Delta\)BEF = \(\Delta\)EMC (cmt) => ^BFE = ^ECM (2 góc tương ứng)

Nên ^CEF + ^ECM = 90⁰ => CM vuông góc EF 

Xét \(\Delta\)EFC: DE vuông góc CF; BF vuông góc CE; CM vuông góc EF

=> BF; CM; DE đồng qui (đpcm).