Xét tính liên tục của các hàm số:
a) \(y = \sqrt {{x^2} + 1} + 3 - x\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}.\cos x\).
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
B
1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Đặt \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} \)
Với mọi \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\), ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 1} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2 - x} \\ & \,\,\,\,\, = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {{x_0} - 1} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {1;2} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x} = \sqrt {1 - 1} + \sqrt {2 - 1} = 1 = f\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x} = \sqrt {2 - 1} + \sqrt {2 - 2} = 1 = f\left( 2 \right)\end{array}\)
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) \(f\left( 3 \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {1 - {x^2}} \right) = 1 - {3^2} = 1 - 9 = - 8\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = - 8\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 3\).
b) \(f\left( 1 \right) = - 1\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {1^2} + 1 = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - x} \right) = - 1\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
ĐKXĐ: \({x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le - 2\end{array} \right.\)
Vậy hàm số có TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) là hàm số căn thức nên nó liên tục trên các nửa khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{2^2} - 4} = 0 = f\left( 2 \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \sqrt {{x^2} - 4} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} - 4} = 0 = f\left( { - 2} \right)\)
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} - 4} \) liên tục trên các nửa khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right]\) và \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2021
1.
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2x}{x\left(\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy cần bổ sung \(f\left(0\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) để hàm liên tục tại \(x=0\)
2.
a. \(f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{x\left(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1\right)}{x\left(\sqrt[]{x+1}+1\right)}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\dfrac{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}+\sqrt[3]{x+1}+1}{\sqrt[]{x+1}+1}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\) nên hàm liên tục tại \(x=0\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2021
2b.
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^3-x^2+2x-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{x^2\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}{x-1}\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\dfrac{\left(x^2+2\right)\left(x-1\right)}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(x^2+2\right)=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(3x+a\right)=a+3\)
- Nếu \(a=0\Rightarrow f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\) hàm liên tục tại \(x=1\)
- Nếu \(a\ne0\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)\ne\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\Rightarrow\) hàm không liên tục tại \(x=1\)
LN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 9 2021
a. ĐKXĐ: \(-3\le x\le3\)
\(y'=1-\dfrac{x}{\sqrt{9-x^2}}=\dfrac{\sqrt{9-x^2}-x}{\sqrt{9-x^2}}=0\Rightarrow x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)
Dấu của y':
Hàm đồng biến trên \(\left(-3;\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)\) và nghịch biến trên \(\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2};3\right)\)
b.
ĐKXĐ: \(x\ne2\)
\(y'=\dfrac{\left(-2x-1\right)\left(x+2\right)+x^2+x+2}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{-x^2-4x}{\left(x+2\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-4\end{matrix}\right.\)
Dấu của y':
Hàm đồng biến trên các khoảng \(\left(-4;-2\right)\) và \(\left(-2;0\right)\)
Hàm nghịch biến trên các khoảng \(\left(-\infty;-4\right)\) và \(\left(0;+\infty\right)\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) Dễ thấy x = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
\(f\left( 0 \right) = {0^2} + 1 = 1\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = {0^2} + 1 = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {1 - x} \right) = 1 - 0 = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1 = f\left( 0 \right)\).
Vậy hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\).
b)Dễ thấy x = 1 thuộc tập xác định của hàm số.
\(f\left( 1 \right) = {1^2} + 2 = 3\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = {1^2} + 2 = 3\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x = 1\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \(x = 1\).
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
21 tháng 9 2023
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right).\cos \left( { - x} \right) = - \sin x.\cos x\\f\left( x \right) = \sin x.\cos x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Hàm số \(y = \sin x\cos x\) là hàm số lẻ
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) + \cot \left( { - x} \right) = - \tan x - \cot x\\f\left( x \right) = \tan x + \cot x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Hàm số \(y = \tan x + \cot x\) là hàm số lẻ
c) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) = {\left( { - \sin \left( x \right)} \right)^2} = {\sin ^2}x\\f\left( x \right) = {\sin ^2}x\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Hàm số \(y = {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Hình 14a đồ thị là đường cong Parabol liền mạch nên hàm số liên tục trên toàn bộ trên khoảng xác định.
Hình 14b đồ thị bị chia làm hai nhánh:
- Với x < 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.
- Với x > 1 ta thấy hàm số là một đường cong liền nên liên tục.
Vậy hàm số liên tục trên từng khoảng xác định.
Hình 14c đồ thị hàm số y = tanx chia thành nhiều nhánh, và mỗi nhánh là các đường cong liền. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng xác định của chúng.
a) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} \) xác định trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = 3 - x\) là đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 1} + 3 - x\) cũng liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Hàm số \(y = \cos x\) là hàm lượng giác nên liên tục trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số \(y = \cos x\) cũng liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Vậy hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}.\cos x\) liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).