Cho \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)với ( ab > 0 ).Chứng minh;
\(\dfrac{2a^2-3ab+5b^2}{2b^2+3ab}=\dfrac{2c^2-3cd+5d^2}{2d^2+3cd}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 3 2023
Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?
S
5 tháng 10 2018
Vì \(a>0;b>0;c>0\Rightarrow\dfrac{ab}{c}>0;\dfrac{bc}{a}>0;\dfrac{ac}{b}>0\)
Áp dụng bất đẳng thắng Cosi cho các cặp:
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{bc}{a}}\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ac}{b}}\Leftrightarrow\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{c}.\dfrac{ac}{b}}\Leftrightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge a+b+c\left(dpcm\right)\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
OY
7 tháng 11 2021
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Ta có: \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{bkb}{dkd}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}=\dfrac{b}{d}\left(1\right)\)
\(\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{bk-b}{dk-d}=\dfrac{b\left(k-1\right)}{d\left(k-1\right)}=\dfrac{b}{d}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
7 tháng 11 2021
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{b^2k}{d^2k}=\dfrac{b^2}{d^2}\\ \dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}=\dfrac{\left(bk-b\right)^2}{\left(dk-d\right)^2}=\dfrac{b^2\left(k-1\right)^2}{d^2\left(k-1\right)^2}=\dfrac{b^2}{d^2}\\ \Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
24 tháng 11 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta ccó :
\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{b}{ac}}=2\sqrt{\frac{1}{c^2}}=\frac{2}{c}\)(1)
\(\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{b}{ac}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{2}{a}\)(2)
\(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{a}{bc}.\frac{c}{ab}}=2\sqrt{\frac{1}{b^2}}=\frac{2}{b}\)(3)
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) lại ta được :
\(\frac{2a}{bc}+\frac{2b}{ac}+\frac{2c}{ab}\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(đpcm)
7 tháng 3 2023
Theo đề bài ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( 2 )
Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )
Từ ( 2 ) , ( 3 )
= > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )
KK
26 tháng 3 2018
áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{a}.\dfrac{ac}{b}}\)
⇔\(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2\sqrt{c^2}=2c\)
TT ta có \(\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge2a\)
\(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2b\)
cộng từng vế 3 BĐT trên
\(2\left(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
⇔ \(\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}+\dfrac{ab}{c}\ge a+b+c\) (đpcm)
30 tháng 3 2018
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\)
Thay a và c vào VP và VT sẽ bằng nhau