\(0< x,y\le1;\) \(x+y=4xy\)Tính GTLN, GTNN của \(A=x^2+y^2-xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CV
1 tháng 10 2018
ap dung bdt cauchy schwarz ta co
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
vay min=1/2
31 tháng 7 2020
vì 0<x,y,z\(\le\)1 nên (1-x)(1-y) >=0 <=> 1+xy >= x+y
<=> 1+z+xy >= x+y+z
<=> \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\left(1\right)\)
tương tự có \(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\left(2\right);\frac{z}{1+x+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)
cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
NG
1
3 tháng 5 2018
\(Do\)\(x;y\le1\Rightarrow x\ge xy\Rightarrow x-xy\ge0\)
Tương tự cộng vào đc ... >=0
Xét \(\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow1-\left(x+y+x\right)+\left(xy+yz+zx\right)-xyz\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y+z-xy-yz-zx\le1-xyz\le1\)
G
8 tháng 3 2018
Ta có:
\(-1\le x\le1;-1\le y\le1;-1\le z\le1\Leftrightarrow x^2;y^2;z^2\le1\) (1)
Trong 3 số \(x;y;z\)có ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là \(x;y\)) ta có: \(xy\ge0\Rightarrow2xy\ge0\)(2)
\(x^2+y^4+z^6=x^2+y^2.y^2+z^2.z^2.z^2\le x^2+y^2+z^2\)(3)
ta sẽ chứng minh:
\(x^2+y^2+z^2\le2\) ta có:
\(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+z^2+2xy\)(từ (2) )
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le\left(x+y\right)^2+z^2=\left(-z\right)^2+z^2=2z^2\le2\)(từ (1) )
\(\Rightarrow x^2+y^4+z^6\le2\left(đpcm\right)\)(từ (3) )
TM
14 tháng 3 2018
Ta có:
−1≤x≤1;−1≤y≤1;−1≤z≤1⇔x2;y2;z2≤1 (1)
Trong 3 số x;y;zcó ít nhất 2 số cùng dấu(giả xử là x;y) ta có: xy≥0⇒2xy≥0(2)
x2+y4+z6=x2+y2.y2+z2.z2.z2≤x2+y2+z2(3)
ta sẽ chứng minh:
x2+y2+z2≤2 ta có:
x2+y2+z2≤x2+y2+z2+2xy(từ (2) )
⇒x2+y2+z2≤(x+y)2+z2=(−z)2+z2=2z2≤2(từ (1) )
⇒x2+y4+z6≤2(đpcm)(từ (3) )
..
PG
1
7 tháng 3 2020
Với \(0\le x;y\le1\) ta có:
\(\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}\ge\frac{x}{\sqrt{1+3}}+\frac{y}{\sqrt{1+3}}=\frac{x+y}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1
Có: \(0\le x;y\le1\)
=> \(0\le x^2\le x\le1;0\le y^2\le y\le1\)
\(\left(\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}\right)^2\le2\left(\frac{x^2}{y+3}+\frac{y^2}{x+3}\right)\le2\left(\frac{x}{x+y+2}+\frac{y}{x+y+2}\right)\)
\(=2\left(\frac{x+y+2}{x+y+2}-\frac{2}{x+y+2}\right)\le2\left(1-\frac{2}{1+1+2}\right)=1\)
=> \(\sqrt{\frac{x}{\sqrt{y+3}}+\frac{y}{\sqrt{x+3}}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra x<=> = y =1
\(A=x^2+y^2-xy \)
\(=\left(x+y\right)^2-2xy-xy\)
\(=\left(x+y\right)^2-3xy\)
Vì x+y=4xy nên A=4xy-3xy=xy
Vì x,y\(\le1\)nên xy\(\le1\)
\(\Rightarrow A\le1\)
\(\Rightarrow\)GTLN của A là 1.
Dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow\)x=y=1.
Mình chỉ làm được có vậy,mong bạn thông cảm.